Cuerpos en el espacio

ENUNCIADO. Un depósito de agua tiene forma de ortoedro ( prisma recto de base rectangular ). Las medidas interiores ( longitudes de las aristas ) del depósito son: $2$, $3$ y $4$ metros, respectivamente. Se pide:
a) Dibujar una figura esquemática del depósito y anotar en ella las medidas
b) Calcular la capacidad del depósito, expresada en litros
c) Calcular la longitud de la diagonal del prisma
d) ¿ Cuánto tiempo tardará en vaciarse el depósito ( lleno ) mediante una conducción de agua, que lleva un caudal de $2 \; \dfrac{\text{L}}{\text{min}}$ ?

SOLUCIÓN.
a)

b)
El volumen del depósito es igual a $V=2 \cdot 3 \cdot 4 = 24 \; \text{m^2} = 24\,000\; \text{dm}^3$

c)
Como $1 \; \text{dm}^3$ equivale a $1 \; \text{L}$ de capacidad, la capacidad del depósito es de $24\,000 \; \text{L}$

d)
Para calcular la diagonal del ortoedro ( dibujada en rojo ) debemos tener en cuenta los dos triángulos rectángulos que se configuran ( aparecen sombreados en la figura ), entonces llamando $d$ a la diagonal del ortoedro y $\ell$ a la diagonal de la cara de la base, podemos escribir $d^2=\ell^2+3 ^2 \quad \quad (1)$ ( por el teorema de Pitágoras aplicado al triángulo sombreado de marrón ); y, aplicando el mismo teorema al triángulo sombreado en azul, $\ell^2=2^2+4^2 \quad \quad (2)$. Sustituyendo (2) en (1) resulta $d^2=2^2+3^2+4^2$, y por tanto $d=\sqrt{2^2+3^2+4^2}=\sqrt{29}\; \text{m}$

e)
Denotando por $t$ al tiempo pedido y planteando la siguiente proporción directa: $\dfrac{1}{2}=\dfrac{t}{24\,000}$, de donde despejando $t$, obtenemos $$t=12\,000\; \text{min}=200\;\text{h}=8\;\text{días}\;8\;\text{h}$$
$\square$

Área de un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio dado

ENUNCIADO. Calcular el área y el perímetro de un cuadrado inscrito en una circunferencia de $5$ centímetros de radio. ¿ Cuál es el área de uno de los cuatro segmentos circulares delimitados por la circunferencia y los lados del cuadrado ?

SOLUCIÓN.
Procedimiento I:
El cuadrado inscrito en la circunferencia se divide en ocho triángulos rectángulos isósceles. La hipotenusa de cada uno de esos triángulos rectángulos isósceles es igual al radio de la circunferencia y por tanto mide $5$ centímetros. Llamemos $\ell$ a la longitud de sus catetos ( que son iguales ). El área de uno de dichos triángulos rectángulos isósceles ( de color marrón en la figura ) es igual a $\dfrac{1}{2}\,\ell\cdot \ell$, por lo tanto, el área del cuadrado es $\mathcal{A}=8\cdot ( \dfrac{1}{2}\,\ell\cdot \ell )= 4\,\ell^2 \quad \quad (1)$.

Es necesario, pues, calcular el valor de $\ell$; por el teorema de Pitágoras, $5^2=\ell^2+\ell^2$, esto es, $2\,\ell^2 \cdot 5^2$, luego $\ell^2=\dfrac{5^2}{2}$. Y sustituyendo este resultado en (1) resulta $\mathcal{A}= 4\cdot \dfrac{5^2}{2}=2\cdot 25 = 50\; \text{cm}^2$

Procedimiento II:
Otra manera de resolverlo, más sencilla, consiste en fijarnos en el triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos son igual al radio ( $5\,\text{cm}$ ) y que en la figura está sombreado en azul. El área de uno de esos triángulos rectángulos isósceles es igual a $\dfrac{1}{2}\,5 \cdot 5 = \dfrac{25}{2}\; \text{cm}^2$; y, como el cuadrado se divide en cuatro de esos triángulos rectángulos isósceles, el área del mismo es $\mathcal{A}= 4 \cdot \dfrac{25}{2} = 2 \cdot 25 = 50 \; \text{cm}^2$



$\square$

Área y perímetro de un sector circular

ENUNCIADO. Calcular el perímetro y el área de un sector circular de $150^{\circ}$ de amplitud angular, y de radio igual a $10$ centímetros.

SOLUCIÓN.
El área del círculo completo es igual a $\pi\cdot 10^2 = 100\,\pi\; \text{cm}^2$ y el perímetro es igual a $2\cdot\pi\cdot 10=20\,\pi\;\text{cm}$. Como, en un sector circular, ambas magnitudes son proporcionales al ángulo central de dicho sector, $$\dfrac{ \mathcal{A}_\text{sector}}{150^{\circ}}=\dfrac{100\,\pi}{360^{\circ}}\Rightarrow \mathcal{A}_\text{sector}=\dfrac{150}{360}\cdot 100\,\pi=\dfrac{5}{12}\cdot 100\,\pi=\dfrac{125}{3}\,\pi\; \text{cm}^2 \approx 131\;\text{cm}^2$$

La longitud del arco del sector circular se calcula también mediante una proporción similar:$$\dfrac{ \ell_\text{arco}}{150^{\circ}}=\dfrac{20\,\pi}{360^{\circ}}\Rightarrow \ell_{\text{arco}}=\dfrac{150}{360}\cdot 20\,\pi=\dfrac{25}{3}\,\pi\; \text{cm} \approx 26\;\text{cm}$$ por lo tanto, y añadiendo la longitud de los dos radios, resulta que el perímetro del sector es igual a $$\mathcal{P}_{\text{sector}}=\ell+2\,r=\dfrac{25}{3}\,\pi+2\cdot 10=\dfrac{25}{3}\,\pi+20\; \text{cm} \approx 46\;\text{cm}$$

$\square$

Figuras semejantes

ENUNCIADO. Las medidas de un sobre son $10 \times 6$ centímetros. ¿ Cuáles son las medidas de otro sobre semejante al anterior, pero cuya área sea el doble de la de aquel ?.

SOLUCIÓN.

El área del primer sobre vale $10\cdot 6=60\; \text{cm}^2$, luego el área del segundo sobre es de $2 \cdot 60 = 120 \; \text{cm}^2$. La razón de semejanza es igual a la raíz cuadrada de la razón aritmética de las áreas de los dos sobres $r=\sqrt{\dfrac{120}{60}}=\sqrt{2}$.

Por tanto, el lado del segundo sobre que corresponde al de $10$ centímetros de longitud del primero es igual a $10 \cdot \sqrt{2} \approx 14,1 \; \text{cm}$; y la longitud del otro lado es igual a $6 \cdot \sqrt{2} \approx 8,5 \; \text{cm}$.

Las medidas del segundo sobre son, por tanto, $14,1 \times 8,5$ centímetros. $\square$

Ejercicios resueltos del examen final del tercer trimestre ( temas 11,12, 13 y 14 ), realizado del Viernes 9/06/2016

Primera parte ( recuperación de los temas 11 y 12 ): [ 1 | 2 ]
Segunda parte ( temas 13 y 14 ): [ 3 | 4 ]

Un ejercicio sobre cuerpos de revolución. Cono.

ENUNCIADO. La generatriz de un cono mide $5$ decímetros, y el radio de la base $3$ decímetros. Se pide:
a) Dibujar una figura esquemática del cono y anotar en ella las medidas
b) Calcular el volumen del cono
c) Dibujar una figura esquemática del desarrollo plano del cono y anotar en ella las medidas que vienen dadas en el enunciado \par
d) Calcular el área lateral del cono
e) Calcular el área de la base
f) Calcular el área total del desarrollo plano del cono
g) Calcular el ángulo del trazado en el desarrollo plano de la superficie lateral del cono

SOLUCIÓN.
a)

b)
El volumen del cono viene dado por $V=\dfrac{1}{3}\,\pi\cdot r^2\cdot h \quad \quad (1)$, donde $h$ representa la altura del cono, esto es, la longitud del segmento $OQ$. Debemos, pues calcular su valor; si nos fijamos en el triángulo rectángulo $\triangle\{OPQ\}$, podemos aplicar el teorema de Pitágoras, $h^2+r^2=g^2$ ( donde $g$ indica la generatriz y $r$ el radio de la base ). Poniendo los datos del problema, $$h^2+3^2=5^2$$ luego $h^2=5^2-3^2=16$ y, por tanto, $h=\sqrt{16}=4\,\text{dm}$; con lo cual, de (1), $$V=\dfrac{1}{3}\,\pi\cdot 3^2\cdot 4=12\,\pi\;\text{dm}^3\approx 38\;\text{dm}^3$$

c)
El área lateral del cono viene dada por $\mathcal{A}_{\text{lateral}}=\pi\cdot r \cdot g$ y, poniendo los datos del problema, obtenemos $\mathcal{A}_{\text{lateral}}=15\,\pi \;\text{dm}^2\approx 47\;\text{dm}^2$

d)
El área de la base es $\mathcal{A}_{\text{base}}=\pi\cdot r^2$, y con los datos del problema obtenemos $$\mathcal{A}_{\text{base}}=\pi\cdot 3^2=9\,\pi\;\text{dm}^2 \approx 28\;\text{dm}^2$$

e)
El área total del desarrollo plano del cono es la suma del área de la base y del área lateral, luego su valor es $15\,\pi+9\,\pi=24\,\pi\;\text{dm}^2 \approx 75\;\text{dm}^2$

f)
El ángulo central del sector circular, $\alpha$, que representa el desarrollo plano de la superficie lateral del cono se calcula mediante la siguiente proporción ( entre la amplitud angular y la longitud del arco), $$\dfrac{\alpha}{2\,\pi\cdot r}=\dfrac{360^{\circ}}{2\,\pi\cdot g}$$ por lo que, despejando $\alpha$, se obtiene $$\alpha=360^{\circ}\cdot \dfrac{r}{g}$$, que con los datos del problema tiene el siguiente valor $$\alpha=360^{\circ}\cdot \dfrac{3}{5} = 216^{\circ}$$
$\square$

Cuerpos en el espacio. Un ejercicio sobre un ortoedro ( prisma recto de base rectangular ).

ENUNCIADO. Un depósito de agua tiene forma de prisma recto, de base rectangular. Las medidas interiores ( longitudes de las aristas ) del depósito son: $4$, $5$ y $6$ metros, respectivamente. Se pide:
a) Dibujar una figura esquemática del depósito y anotar en ella las medidas
c) Calcular la capacidad del depósito, expresada en litros
b) ¿ Cuántos cubos de $1,5$ litros de capacidad es necesario llenar para vaciarlo ?
d) Calcular la longitud de la diagonal del prisma
e) Dibujar una figura que mueste el desarrollo plano del depósito ( está abierto por la cara superior ), y anotar en ella las medidas que vienen dadas en el enunciado
f) Calcular el área total de las paredes del depósito

SOLUCIÓN. Este ejercicio es muy similar a este otro ( que ya está resuelto y comentado ). $\square$

Un ejercicio de aplicación del teorema de Pitágoras

ENUNCIADO. Considerar la siguiente figura:

Las longitudes de los segmentos $a$, $AD$ y $DB$ miden $4 \; \text{cm}$, $3 \; \text{cm}$ y $2 \; \text{cm}$, respectivamente. Se pide:
a) Calcular el área del triángulo $\triangle\{ABC\}$
b) Calcular el perímetro del triángulo $\triangle\{ABC\}$

SOLUCIÓN.
a)
El área del triángulo $\triangle\{ABC\}$ es igual a $\dfrac{a \cdot AD}{2}=\dfrac{4 \cdot 3}{2}=6\,\text{cm}^2$

b)
El perímetro del triángulo $\triangle\{ABC\}$ es igual a la suma de las longitudes de sus lados, $a+b+c$ y aplicando el teorema de Pitágoras a los triángulos ( rectángulos ) $\triangle\{ADC\}$ y $\triangle\{ADB\}$ obtenemos $4 +\sqrt{(4+2)^2+3^2}+\sqrt{2^2+3^2}=4+\sqrt{45}+\sqrt{13} \; \text{cm} \approx 14 \, \text{cm}$

$\square$

Un ejercicio de aplicación del teorema de Tales

ENUNCIADO. Las rectas $r$, $s$ y $t$ de la figura son paralelas. Hallar $x$ e $y$.

SOLUCIÓN.
Nota: los datos del problema, así como los resultados, vienen expresadas en unidades arbitrarias de longitud

Por el teorema de Tales podemos escribir: $$\dfrac{2}{3}=\dfrac{x}{5}$$ y despejando $x$, $$x=\dfrac{2\cdot 5}{3}=\dfrac{10}{3} \approx 3,33$$ de manera análoga, para el el último par de segmentos interceptados $$\dfrac{2}{3}=\dfrac{1,5}{y}$$ luego $$2\,y=1,5 \cdot 3$$ y despejando $y$ obtenemos $$y=\dfrac{1,5\cdot 3}{2}=2,25$$
$\square$

Poliedros no convexos que no cumplen la propiedad de Euler

La propiedad de Euler sobre los poliedros ( $v-a+c=2$, donde $v$ denota el número de vértices; $a$, el número de aristas; y $c$, el número de caras ) es válida para todo poliedro convexo; ahora bien, existen poliedros no convexos que también la cumplen; por ejemplo, un prisma cuya base tenga forma de "L". Por supuesto, los hay ( no convexos ) que no la cumplen, aunque a veces cuesta dar con alguno -- el otro día, en clase, me pasó eso: no daba con ninguno --. Uno de estos poliedros ( ya tengo unos cuántos para mostrar ) es un prisma con un agujero ciego, con el mismo contorno de la base, tal como se muestra en la siguiente figura

Los hay, también, que son muy complicados, como por ejemplo el poliedro de Szászár ( fuente: Wikipedia ). Siguiendo el enlace podréis echarle un vistazo.

Cálculo de la longitud de las diagonales de un trapecio isósceles

ENUNCIADO. Los lados paralelos de un trapecios isósceles miden $1$ y $3$ decímetros, respectivamente; y los lados oblicuos ( iguales ) tienen una longitud de $2$ decímetros. ¿ Cuánto miden las diagonales del trapecio ?

ENUNCIADO.

Ejercicios resueltos y comentados del examen de los temas 11 y 12, realizado el Martes 3/05/2016

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Aplicar el teorema de Tales

ENUNCIADO. Las rectas $r$, $s$ y $t$ de la figura son paralelas. Aplicando el teorema de Tales, calcular el valor de $x$ y el valor de $y$

SOLUCIÓN.
a) Observemos que los triángulos $\triangle \{O,A,A'\}$ y $\triangle \{O,B,B'\}$ son semejantes, luego ( aplicando el teorema de Tales ) $$\dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}=\dfrac{\overline{OB'}}{\overline{OB}}$$ y, con los datos, podemos escribir $$\dfrac{3}{4}=\dfrac{3+x}{4+1}$$ esto es $$\dfrac{3}{4}=\dfrac{3+x}{5}$$ luego, despejando $x$, $$x=\dfrac{5\cdot 3}{4}-3=\dfrac{3}{4}=0,75\;\text{cm}$$

b) Observemos que los triángulos $\triangle \{O,A,A'\}$ y $\triangle \{O,C,C'\}$ son semejantes $$\dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}=\dfrac{\overline{OC'}}{\overline{OC}}$$, por lo que podemos aplicar el teorema de Tales; y, con los datos, tenemos $$\dfrac{3}{4}=\dfrac{3+x+y}{4+1+2}$$ esto es $$\dfrac{3}{4}=\dfrac{3+0,75+y}{7}$$ luego, despejando $y$, $$y=\dfrac{7\cdot 3}{4}-3,75=1,5\;\text{cm}$$
$\square$

Aplicar el recíproco del teorema de Tales

ENUNCIADO. A partir de las longitudes de los segmentos que aparecen en la siguiente figura, justificar que las rectas $r$ y $s$ son paralelas ( empleando el recíproco del teorema de Tales ).

SOLUCIÓN. Si se cumple $$\dfrac{\overline{OA}}{\overline{OA'}}=\dfrac{\overline{OB}}{\overline{OB'}}$$ entonces podemos asegurar que $r$ y $s$ son rectas paralelas. Y, en efecto, así es: $\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{1,5}$, pues $2\cdot 1,5 =3 \cdot 1 = 3$
$\square$

Considerar dos triángulos semejantes tales que ...

ENUNCIADO. El área de un cierto triángulo mide $9\,\text{cm}^2$. Si dibujamos un triángulo semejante a escala $1:3$, ¿ cuánto mide el área de este otro triángulo ?.

SOLUCIÓN. Al ser la razón de semejanza $r=\dfrac{1}{3} \prec 1$, el triángulo semejante al de área dada ( de $9\,\text{cm}^2$ ) es más pequeño. Teniendo en cuenta que la razón entre las áreas es igual al cuadrado de la razón de semejanza, llamando $A'$ al área pedida, podemos escribir $$\dfrac{A'}{9}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^2$$ esto es $$\dfrac{A'}{9}=\dfrac{1}{9}$$ con lo cual $$A'=1\;\text{cm}^2$$
$\square$

Cálculo de áreas de figuras planas. Sea un hexágono regular ...

ENUNCIADO. Considerar un hexágono regular inscrito en una circunferencia de radio igual a $1$ decímetro. Calcular el valor de las siguientes áreas:
a) la del hexágono
b) la del círculo asociado a la circunferencia
c) la de la región comprendida entre la circunferencia y el hexágono.

SOLUCIÓN. Podéis leer la solución de un problema resuelto del mismo tenor siguiendo [ este enlace ].

Construir un triángulo con regla y compás ...

ENUNCIADO. Sean tres segmentos, de longitudes $3$, $4$ y $5$ centímetros, respectivamente. Construir ( con regla y compás ) el triángulo que tenga por lados estos tres segmentos. El mayor de los ángulos debe medir un ángulo recto, ¿ por qué ?.

SOLUCIÓN. Las longitudes de los tres lados forman una terna pitagórica ( se cumple el teorema de Pitágoras; en efecto, $5^2=3^2+4^2$, ya que $25=9+16$ ) por lo cual, dicho triángulo debe tener un ángulo recto ( por ser un triángulo rectángulo ). Veamos la construcción:

$\square$

Dibujar y denominar los elementos de un triángulo rectángulo ...

ENUNCIADO. Dibujar un triángulo rectángulo cuyos catetos sean de distinta longitud. A continuación, denominar los vértices, los lados y los ángulos de dicho triángulo ( empleando el convenio de notación explicado en clase ). Y, finalmente, explicar qué dice el teorema de Pitágoras.

SOLUCIÓN.

Nota: Si la hipotenusa es un diámetro de una circunferencia, entonces ( propiedad ) cualquier punto sobre la misma determina un triángulo rectángulo con los extremos de dicho diámetro.


También podemos denominar los ángulos de la siguiente manera:
$\alpha \equiv \angle ( CAB )$
$\beta \equiv \angle ( ABC )$
$\gamma \equiv \angle ( BCA ) $
$\square$

¿ Es posible construir un marco en forma de triángulo rectángulo isósceles de forma que ... ?

ENUNCIADO. Un carpintero quiere construir un marco que tenga forma de triángulo rectángulo isósceles ( una escuadra ), de forma que, tomando como base la hipotenusa del mismo, la altura de dicho triángulo mida $3$ decímetros. Dispone para ello de un listón de madera de $15$ decímetros. ¿ Es suficiente la longitud del listón para poder construir la escuadra ?.

SOLUCIÓN. La altura del triángulo referida en el enunciado divide a al triángulos en dos triángulos rectángulos isósceles iguales, y a la base correspondiente ( la hipotenusa del triángulo rectángulo isósceles ), en dos segmentos iguales cuya longitud debe ser, por tanto, igual a la de la altura, esto es, de $3\;\text{dm}$.

Así, el perímetro del triángulo es igual a $2(3+x)$, donde $x$ representa la longitud de cada uno de los dos catetos; ahora bien, por el teorema de Pitágoras aplicado a cualquiera de los dos triángulos rectángulos isósceles en que queda dividido el triángulo rectángulo isósceles que queremos construir, podemos escribir que $x^2=3^2+3^2$ y, por tanto, $x=3\,\sqrt{2}\,\text{dm}$. Esto nos permite calcular ya el valor del perímetro del triángulo rectángulo isósceles que queremos construir: $P=2(3+x)=2(3+3\,\sqrt{2})=6\,(\sqrt{2}+1) \approx 14,49 \; \text{dm}$, que es menor que la longitud del listón disponible.

Por consiguiente podemos afirmar que sí es suficiente dicho listón para poder cortar los tres trozos necesarios para la construcción del triángulo rectángulo isósceles pedido. Y sus medidas son las siguientes: hipotenusa, $2\cdot 3=6\; \text{dm}$; y, cada uno de los dos catetos, $x=3\,\sqrt{2} \approx 4,24 \; \text{dm}$
$\square$

Ejercicios resueltos y comentados del examen de recuperación del segundo trimestre ( temas: 6-10 ), realizado el Viernes 1/04/2016

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Representar la gráfica de la función cuadrática ...

ENUNCIADO. Sea la función $f(x)=(x-1)^2$. Encontrar las imágenes de los siguientes valores de la variable independiente, $x$: $\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}$. Confeccionar una tabla numérica y, finalmente, dibujar la gráfica de la función, representando los puntos así obtenidos y perfilando el trazo que pasa por ellos. ¿ Hay proporcionalidad entre la variable $x$ y la variable $y$ ?.

SOLUCIÓN.

La función $f(x)$ que se propone es cuadrática ( por la potencia al cuadrado del binomio $x-1$ ), luego no es de proporcionalidad ( ni directa ni inversa ), por consiguiente podemos afirmar que no hay proporcionalidad entre las variables $x$ e $y$. Otra forma de llegar a la misma conclusión consiste en comprobar que la gráfica de la función no es ni una recta ( en cuyo caso sería de proporcionalidad directa ) ni una hipérbola ( lo que daría lugar a una proporción inversa ). $\square$

Encontrar la función

ENUNCIADO. Un cierto servicio telefónico cobra a sus clientes $20$ céntimos de euro por el establecimiento de llamada y $50$ céntimos de euro por cada minuto de duración de la llamada. Se pide:
a) Escribir la expresión de la función que da el coste de la llamada en función del tiempo de la misma
b) Representar la gráfica de dicha función. ¿ Qué tipo de función es ?
c) ¿ Cuánto cuesta hacer una llamada de $6$ minutos de duración ?

SOLUCIÓN.
a) Llamemos $x$ a la duración de la llamada, entonces el coste de la misma viene dada por la función $f(x)=0,50\,x+0,20$ ( en euros )

b) Como la función $f$ es de proporcionalidad directa, su gráfica es una semirrecta; basta calcular dos puntos de la misma para determinarla; por ejemplo, $A(0\,,\,0'20)$ y $B(-0'4\,,\,0)$

La parte punteada del gráfico sólo nos ha servido para representar la semirrecta ( en trazo continuo ) que describe la relación entre la duración de la llamada $x \ge 0$ y el coste del servicio.

c) Así, hacer una llamada de $6$ minutos cuesta $f(6)=0,50 \cdot 5 + 0,20 = 3,20$ euros.

$\square$

¿ Cuánto nos costará un libro que ... ?

ENUNCIADO. Queremos comprar un libro valorado en $20,00$ euros. El libro está en oferta y por ese motivo está rebajado en un $6\,\%$ con respecto al valor del mismo. Sin embargo, debemos abonar al librero un $12\,\%$ con respecto a valor del libro, en concepto de impuestos. ¿ Cuánto nos costará ?.

SOLUCIÓN.
Podemos hacer el cálculo ( que otras veces hemos expuesto paso a paso ) con una sóla operación ( combinada ) multiplicando el valor nominal y cada una de las dos índices de variación ( de descuento y de impuesto, respectivamente, y que se obtienen de las tasas respectivas ), la cantidad a pagar será: $$20,00 \cdot \dfrac{100-6}{100}\cdot \dfrac{100+12}{100} \approx 21,06 \; \text{euros}$$
$\square$

Repartir de forma directamente proporcional

ENUNCIADO. Una abuela quiere repartir $120$ galletas entre sus tres nietos, de forma directamente proporcional a la edad de los mismos: $7$, $8$ y $9$ años, respectivamente. ¿ Cuántas galletas le corresponde a cada uno de ellos ?

SOLUCIÓN. Denotemos por $x$, $y$ y $z$ a las cantidades de galletas que corresponden a los nietos de $7$, $8$ y $9$ años, respectivamente. Entonces, planteando las igualdades entre las razones aritméticas ( proporcionalidad ) podemos escribir: $$\dfrac{x}{7}=\dfrac{y}{8}=\dfrac{z}{9}$$ que, a su vez, han de ser iguales a $\dfrac{x+y+z}{7+8+9}$, y como $x+y+z=120$, se tiene que $\dfrac{x+y+z}{7+8+9}=\dfrac{120}{25}=5$, que es la constante de proporcionalidad directa. Así,
$$\dfrac{x}{7}=5 \Rightarrow x=7 \cdot 5 = 35 \; \text{galletas}$$
$$\dfrac{y}{8}=5 \Rightarrow y=8 \cdot 5 = 40 \; \text{galletas}$$
$$\dfrac{z}{9}=5 \Rightarrow z=9 \cdot 5 = 45 \; \text{galletas}$$

Comprobación: Como cabía esperar, comprobamos que, cuánto más años tenga cada nieto más galletas le corresponde; y, se cumple que la suma de las tres cantidades obtenidas es igual al número total de galletas a repartir: $35+40+45=120$

$\square$

Hallar el perímetro de un cuadrado tal que ...

ENUNCIADO. El área de un cierto cuadrado mide $121\;\text{cm}^2$. ¿ Cuánto mide el perímetro de dicho cuadrado ?.

SOLUCIÓN.
Denotemos por $x$ al lado del cuadrado, entonces $x^2=121$, luego $x=\sqrt{121}=11\;\text{cm}$. Y, por tanto, el perímetro es igual a $4\cdot 11 = 44 \; \text{cm}$
$\square$

Hacer un estudio estadístico

ENUNCIADO. En un examen se han obtenido las siguientes notas enteras ( en una escala del $1$ a $5$ ) $$\{3,2,1,3,2,4,2,3,1,3,2,4,3,3,2,1,4,3,1,3,2,2,3,2,3,5,5\}$$ Se pide:
a) Elaborar una tabla en la que aparezcan cinco columnas: la primera, para los distintos valores de la variable estadística $X$, que es la nota obtenida; la segunda, para las frecuencias del recuento
( $f$ ) de las distintos valores enteros de la variable nota; la tercera, para las frecuencias acumuladas del recuento, $F$; la cuarta, como ayuda para los cálculos de la media $\bar{x}$; y, la quinta, como ayuda para calcular la desviación media.
b) Dibujar el diagrama de puntos y trazar la línea poligonal de frecuencias.
c) Calcular la moda ( parámetro estadístico de posición )
d) Calcular la mediana ( parámetro estadístico de posición )
e) Calcular la media ( parámetro estadístico de posición )
f) Calcular la desviación media ( parámetro estadístico de dispersión )
g) ¿ Qué conclusiones se desprenden ( sobre el rendimiento global en dicha prueba ) ahora que ya has elaborado la tabla, has realizado el gráfico y has calculado el valor de los parámetros estadísticos ?


SOLUCIÓN.
Este ejercicio es muy parecido a [ este otro ]. Dejo al lector/a el trabajo ( rutinario ) de seguir los mismos pasos. $\square$

Ejercicios resueltos y comentados del examen de los temas 6,7,8,9 y 10 ( 11/03/2016 )

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Un ejercicio de estadística descriptiva

ENUNCIADO. En el examen de una clase se han obtenido las siguientes notas enteras ( en una escala de $1$ a $4$ ) $$\{3,4,1,3,2,4,2,3,1,3,2,4,3,3,2,1,4,3,1,3,2,2,3,2,3\}$$ Se pide:
a) Confeccionar una tabla en la que aparezcan cinco columnas: la primera, para los distintas notas ( valores de la variable estadística $X$ ); la segunda, para las frecuencias del recuento $f$ de las distintas notas; la tercera, para las frecuencias acumuladas, $F$; la cuarta, como ayuda para los cálculos de la media $\bar{x}$; y, la quinta, como ayuda para calcular la desviación media.
b) Dibujar el diagrama de puntos y trazar la línea poligonal de frecuencias $f$
c) Dibujar el diagrama de frecuencias acumuladas $F$
d) Calcular la moda ( parámetro estadístico de posición )
e) Calcular la mediana ( parámetro estadístico de posición )
f) Calcular la media ( parámetro estadístico de posición )
g) Calcular la desviación media ( parámetro estadístico de dispersión )
h) Extraer conclusiones acerca del rendimiento global del grupo de alumnos

SOLUCIÓN.

La moda se define como el valor de $X$ con la máxima frecuencia de recuento ( $f$ ); como $f_{\text{máx}}=10$ y ese valor corresponde al valor de $X$ igual a $3$, $\text{Moda}=3$

La mediana se define como el valor central del conjunto de datos ordenados de menor a mayor; como hay $25$ datos, el valor central corresponde a $X_{13} \overset{\text{columna $F$}}{=} 3$, luego $$\text{Mediana}=X_{13}=3$$

Arriba ( en las dos últimas filas de la tabla ), ya hemos apuntado que la media ( parámetro de posición ) resulta ser $\bar{x}=2,56$ y que la desviación media ( parámetro de dispersión ) toma el valor $\text{DM} \approx 0,81$; en cuanto al rango ( otro parámetro de dispersión ), recordemos que se define como la diferencia en valor absoluto entre el valor máximo ( que es $4$ ) y el valor mínimo ( que es $1$ ), luego $\text{rango}=\left|4-1\right|=3$

Diagrama de puntos y línea poligonal de frecuencias del recuento:

Diagrama de frecuencias acumuladas del recuento:

h) El valor de los parámetros de posición ( centralización ) -- moda, mediana y media -- son superiores a $\text{rango}/2=1,5$, por lo que podríamos decir que, globalmente, el examen no ha salido mal. Caben, sin embargo, algunos matices: el conjunto de valores presenta una leve asimetría negativa, pues el valor de la media está a la izquierda de la moda; y hay más 4s que 1s, luego el rendimiento del grupo es bastante bueno. En cuanto a la desviación media, que es igual a $0,81$, da un coeficiente de variación ( desviación media con respecto a la media, de $2,56$, igual a $\dfrac{0,81}{2,56} \cdot 100 \approx 32\,\%$, que consideramos "aceptable".
$\square$

Sea la función cuadrática ...

ENUNCIADO. Sea la función $f(x)=x^2-4x+3$. Encontrar las imágenes de los siguientes valores de la variable independiente, $x$: $\{-1,0,1,2,3,4\}$. Confeccionar una tabla numérica y, finalmente, dibujar la gráfica de la función, representando los puntos así obtenidos y perfilando el trazo que pasa por ellos. ¿ Qué tipo de función es ?.

SOLUCIÓN.
La función propuesta es una función cuadrática ( polinómica de grado $2$ ) y su gráfica es una parábola.

Calculando las imágenes pedidas:
$f(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)+3=1+4+3=8$
$f(0)=0^2-4\cdot 0+3=0+0+3=3$
$f(1)=1^2-4\cdot 1+3=1-4+3=0$
$f(2)=2^2-4\cdot 2+3=4-8+3=-1$
$f(3)=3^2-4\cdot 3+3=9-12+3=0$
$f(4)=4^2-4\cdot 4+3=16-16+3=3$

Veamos la gráfica:

$\square$

Decir el tipo de función

ENUNCIADO. Decir el tipo de función y describir la forma del trazo que aparece al representarlas gráficamente:
a) $f(x)=x+1$
b) $f(x)=x^2$
c) $f(x)=\dfrac{1}{x}$
d) $f(x)=2^x$

SOLUCIÓN.
a) función lineal afín ( o función de proporcionalidad directa ); la gráfica de dicha función es una recta que no pasa por el origen de coordenadas
b) función cuadrática; la gráfica de dicha función es una parábola, con vértice en el origen de coordenadas
c) función de proporcionalidad inversa; la gráfica de dicha función es una hipérbola equilátera
d) función exponencial (creciente); todos los valores de función son positivos y la gráfica de dicha función es creciente en todos ( monónota ) sus puntos
$\square$

Un excursionista recorre el trayecto entre ...

ENUNCIADO. Un excursionista recorre el trayecto entre dos refugios en $2$ horas, andando a una velocidad de $4$ kilómetros por hora. ¿ Si llevase una velocidad de $5$ kilómetros por hora y comenzara la caminata a las 08:00 horas, ¿ a qué hora llegaría al final del trayecto ?.

SOLUCIÓN.

Paso 1. Debemos calcular el tiempo que se necesita para hacer el recorrido entre los dos refugios, a la velocidad de $5$ kilómetros por hora.

Damos dos formas de calcularlo:
I)
Una manera muy sencilla de resolverlo es la siguiente. Andando a una velocidad de $4$ kilómetros por hora, en $1$ hora recorre $4$ kilómetros, luego en $2$ horas recorre $8$ kilómetros, que es la longitud del trayecto ( puesto que $2$ horas es el tiempo que tarda en recorrerlo ). Si, ahora, tenemos en cuenta el supuesto de que lo haga a una velocidad de $5$ kilómetros por hora, planteamos la siguiente proporción directa entre el tiempo, $t$, y la longitud recorrida; así, $$\dfrac{1}{5}=\dfrac{t}{8}$$ con lo cual $$t=\dfrac{8}{5}=1+\dfrac{3}{5}=1\; \text{h}\quad \text{y} \quad 36\; \text{min}$$

II)
Otra manera, más directa, es la siguiente. Considerando que las magnitudes velocidad (a la que se anda) y el tiempo necesario en recorrer el trayecto ( son inversamente proporcionales ), podemos plantear la siguiente proporción inversa: $$\dfrac{t}{1/5}=\dfrac{2}{1/4}$$ esto es $$5\,t=4\cdot 2$$ con lo cual $$t=\dfrac{8}{5}=1+\dfrac{3}{5}=1\; \text{h}\quad \text{y} \quad 36\; \text{min}$$

Paso 2. Calculamos la hora de llegada sumando el tiempo empleado a la hora de salida, y obtenemos $$08:00+01:36=09:36\; \text{horas}$$

$\square$

Repartir de forma directamente proporcional ...

ENUNCIADO. Un abuelo quiere repartir $180$ golosinas entre sus tres nietos, de forma directamente proporcional a la edad de los mismos: $5$, $6$ y $7$ años, respectivamente. ¿ Cuántas golosinas le corresponde a cada uno de ellos ?

ENUNCIADO. Llamemos $x$, $y$ y $z$ a las cantidades que les corresponde a los nietos de $5$, $6$ y $7$ años, respectivamente. Entonces,
$$\dfrac{x}{5}=\dfrac{y}{6}=\dfrac{z}{7}$$ y estas tres razones han de ser igual a $\dfrac{x+y+z}{5+6+7}$, que es la constante de proporcionalidad, $k$, siendo $x+y+z=180$; por tanto, $k=\dfrac{180}{18}=10$. Así,
$\dfrac{x}{5}=10$, luego $x=5\cdot 10=50$ euros; $\dfrac{y}{6}=10$, luego $y=6\cdot 10=60$ euros; y $\dfrac{z}{7}=10$, con lo cual $z=7\cdot 10=70$ euros. $\square$

Calcular el área de un rectángulo tal que ...

ENUNCIADO. El perímetro de un rectángulo mide $12$ centímetros, y el largo es el triple del ancho. Calcular el área del rectángulo.

SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ el ancho, entonces podemos expresar el perímetro mediante la expresión $2\,(x+3\,x)$; así, $2\,(x+3\,x)=12$. Resolviendo la ecuación, obtenemos la longitud del ancho $x=\dfrac{3}{2}\,\text{cm}$, luego la longitud del otro lado ( largo del rectángulo ) es igual a $3\cdot \dfrac{3}{2}$, esto es, $\dfrac{9}{2}$. Por consiguiente, el área del rectángulo ( largo $\times$ ancho ) pedida es igual a $\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{9}{2}=\dfrac{27}{4}\;\text{cm}^2$, es decir, $6\;\text{cm}^2$ y $75\;\text{mm}^2$
$\square$

Un problema de "depósitos, grifos y desagües"

ENUNCIADO. Un depósito puede llenarse mediante dos conducciones. Abriendo sólo la primera conducción, se tarda 4 horas en llenarlo; y, abriendo sólo la segunda, se tarda 5 horas. Cuando el depósito está lleno, cerrando las conducciones y abriendo un desagüe, se vacía en 6 horas.

a) Estando cerrado el desagüe y el depósito vacío, se abren las dos conducciones a la vez. ¿ En cuánto tiempo se llena el depósito ?

b) Estando vacío el depósito, y queriéndolo llenar con las dos conducciones abiertas, se ha dejado abierto ( por error ) el desagüe. ¿ Es posible que se llene el depósito en estas condiciones ? En caso afirmativo, ¿ cuánto tiempo se necesita para llenarlo ?

SOLUCIÓN.
a) Solamente con la primera conducción abierta, se llena $\dfrac{1}{4}$ de depósito en $1$ hora. Por otra parte, llenando el depósito solamente con la segunda conducción, en $1$ hora se llena $\dfrac{1}{5}$ parte del mismo. Así pues, llenando el depósito con las dos conducciones abiertas, en $1$ hora se llena $\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}$ parte del depósito, esto es, la siguiente fracción del mismo, $\dfrac{9}{20}$. Finalmente, determinaremos el tiempo necesario, $t$, para llenarlo completamente planteando la proporción directa entre las magnitudes tiempo de llenado y fracción del depósito que se llena ( suponiendo el depósito dividido en $20$ partes iguales ), $$\dfrac{1}{\frac{9}{20}}=\dfrac{t}{\frac{20}{20}}$$ y por tanto $$t=\dfrac{1}{\frac{9}{20}}=\dfrac{20}{9}\;\text{h} \approx 2\,\text{h}\quad 13\,\text{min}\quad 20\,\text{s}\quad$$

b) Ahora, debemos tener en cuenta la fracción de depósito que se vacía ( debido al desagüe abierto ) al tiempo que se llena por el aporte de las dos conducciones. Como -- suponiendo el depósito lleno, las dos conducciones de aporte cerradas, y el desagüe abierto -- en $1$ hora, se vacía $\dfrac{1}{6}$ de depósito, al llenarlo con las dos conducciones de aporte abiertas y el desagüe abierto, en $1$ hora la fracción del depósito que se llena/vacía es igual a $$\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}-\frac{1}{6}$$ esto es $$\frac{17}{60}\,\text{partes del depósito}$$ Teniendo en cuenta que esta fracción es positiva, podemos afirmar que sí se va a llenar el depósito. Veamos, ahora, en cuánto tiempo; para ello, plantearemos la proporción directa entre las magnitudes tiempo de llenado y fracción del depósito que se llena ( igual que hemos hecho en el primer apartado, pero suponiendo ahora que el depósito está dividido en $60$ partes iguales ): $$\dfrac{1}{\frac{17}{60}}=\dfrac{t}{\frac{60}{60}}$$ con lo cual $$t=\dfrac{1}{\frac{17}{60}}=\dfrac{60}{17}=3\;\text{h} + \dfrac{17}{19}\;\text{h} \approx 3\,\text{h}\quad 31\,\text{min}\quad 46\,\text{s}\quad$$
$\square$

Un problema de grifos y depósitos con funciones

Ejercicios resueltos del examen de los temas 6 y 7 realizado el 9/02/2016

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Descuentos

ENUNCIADO. En época de rebajas, con una tasa de descuento del $5\,\%$, hemos adquirido unos pantalones por los que hemos pagado $20$ euros. ¿ Cuánto hubiésemos tenido que pagar si los hubiésemos comprado antes de las rebajas ?.

SOLUCIÓN. Podemos contemplar este tipo de problemas en clave de tasas de variación e índices de variación de una cierta magnitud. La tasa de variación de la cantidad a desenmbolsar al comprar un artículo ( en este caso, la variación se debe a la aplicación de una rebaja en el precio ) es $-0,05$ ( expresado en tanto por unidad ), luego el índice de variación es $1+(-0,05)=0,95$ ( expresado en tanto por unidad ); y, como el índice de variación es igual a la razón entre la cantidad final ( que corresponde a los $20$ euros que debemos pagar ) y la cantidad inicial ( vamos a denotarla por $x$ ) [ deberá ser, lógicamente, mayor que $20$ euros ] cumple que $$\dfrac{20}{x}=0,95$$ luego $x=\dfrac{20}{0,95}\approx 21,05 \; \text{euros}$ ( redondeando al céntimo ).

Una forma más práctica de emplear las mismas ideas consiste en plantear, directamente, una sencilla proporción empleando tantos por cientos, que corresponde a la igualdad entre dos razones ( entre lo que pagamos y lo que pagaríamos sin el descuento -- recordemos que denotamos ésto último por $x$ --) , y que es la siguiente $$\dfrac{100-5}{100}=\dfrac{20}{x}$$ [ Observemos que el miembro de la izquierda es, precisamente, el índice de variación, en base $100$ ]
Por tanto $$\dfrac{x}{20}=\dfrac{100}{95}$$ y despejando $x$ $$x=\dfrac{20 \cdot 100}{95} \approx 21,05\; \text{euros}$$
$\square$

Tasa e índice de variación

ENUNCIADO. El censo de una población ha pasado de tener un valor de $450$ a $440$ personas. Se pide:
a) ¿ Cuál es la tasa de variación ? ( expresarla en tanto por ciento )
b) ¿ Cuál es el índice de variación ? ( expresarlo en tanto por unidad )

SOLUCIÓN.
a) La tasa de variación es la diferencia entre el valor final y el valor inicial relativa a éste último; por tanto, es igual a $\dfrac{440-450}{450}=\dfrac{-10}{450}=-\dfrac{1}{45}=-0,0\bar{2}$ ( expresado en tanto por unidad ), por lo que expresado en tanto por ciento es $-2,\bar{2}\,\% \approx -2,22\,\%$. Nota: el que la tasa de variación sea negativa indica que la variación ha representado una disminución.

b) El índice de variación se define como la razón entre el valor final y el valor inicial, y, por tanto, en este caso es igual a $\dfrac{440}{450}=0,9\bar{8} \approx 0,9889$. Nota: el que sea menor que $1$ indica que la variación ha representado una disminución.

$\square$

Repartos directamente proporcionales

ENUNCIADO. Repartir $300$ en partes directamente proporcionales a $1$, $2$ y $3$, respectivamente.

SOLUCIÓN. Llamemos $x$, $y$ y $z$ a estas tres partes pedidas. Entonces, podemos plantear una triple igualdad entre tres razones ( las razones entre la parte pedida y el valor respectivo de la otra magnitud ): $$\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z}{3} \quad \quad \quad (1) $$ A partir de estas razones equivalentes, podemos obtener una nueva razón, que es equivalente a cada una de las otras tres; esta nueva razón es, por la propiedad básica de varias fracciones equivalentes, es igual a $$\dfrac{x+y+z}{1+2+3}$$ que no es otra que la constante de proporcionalidad ( que denotamos por $k$ ) $$k=\dfrac{x+y+z}{1+2+3}$$ y como $x+y+z$ ha de ser igual a la cantidad total a repartir $300$, vemos que $$K=\dfrac{300}{1+2+3}=\dfrac{300}{6}=50$$

Ahora, dada la triple igualdad (1), tenemos $$\dfrac{x}{1}=50 \Rightarrow x=50$$ $$\dfrac{y}{2}=50 \Rightarrow y=2\cdot 50=100$$ $$\dfrac{z}{3}=50 \Rightarrow z=3\cdot 50=150$$
$\square$

Un problema de proporcionalidad inversa

ENUNCIADO. Una rueda dentada de $20$ dientes y que gira a razón de $10$ vueltas por minuto, transmite el movimiento a otra rueda dentada que tiene $50$ dientes. ¿ Cuántas vueltas por minuto da esa segunda rueda ?.

SOLUCIÓN.
SOLUCIÓN. Cuando dos ruedas dentadas se engranan, una trasmite el movimiento de giro a la otra ( que gira en sentido contrario al de la primera ). Además, hay que tener en cuenta que cuánto menor sea el número de dientes de una rueda, mayor será su velocidad de giro. Hay, por tanto, una relación de proporcionalidad inversa entre las magnitudes $X$ ( número de dientes ) e $Y$ ( velocidad de giro de la misma ). Por tanto, para dos pares de valores ( uno para cada rueda dentada ): $x_1=20$ dientes e $y_1=10$ vueltas por minuto; y, $x_2=50$ dientes e $y_2$ ( la incógnita en el problema ). Así, de acuerdo a la proporción inversa que hemos comentado, podemos escribir $$\dfrac{y_1}{1/x_1}=\dfrac{y_2}{1/x_2}$$ que, como sabemos, podemos escribir también de la forma $$x_1\,y_1=x_2\,y_2$$ y poniendo los datos $$20\cdot 10=50\cdot y_2$$ es decir $$200=50\,y_2$$ luego, despejando, $y_2$, llegamos a $$y_2=\dfrac{10\cdot 20}{50}=4\;\text{vueltas por minuto}$$
$\square$

Cuarta proporcional

ENUNCIADO. Hallar el valor de $x$ en la siguiente proporción ( al que llamamos cuarta proporcional ):
$$\dfrac{2}{x}=\dfrac{4}{10}$$

SOLUCIÓN.
Se llama este problema de cuarta proporcional porque, de los cuatro términos de la proporción, se conocen tres de los mismos; y, el cuarto, representa la incógnita. Una forma rutinaria de resolverlo consiste en recordar ( de lo explicado en clase ) que para que se cumpla la igualdad entre las dos razones ( de la igualdad ), han de ser iguales, también, el producto de medios y el producto de extremos. Así, $2 \cdot 10 = 4 x$. Así, despejando $x$, obtenemos $$x=\dfrac{20}{4}=5$$

Otra forma de resolver el problema es la de contemplarlo como una ecuación de primer grado, utilizando las técnicas de resolución que sean apropiadas para este caso, que es el de una igualdad de fracciones; por tanto, debemos reducir a común denominador ambos miembros de la igualdad. En este caso, la incógnita está en el denominador del primer miembro, lo que dificulta un poco el hacer este paso. Ahora bien, como también debe cumplirse la igualdad de los inversos, la ecuación pedida es equivalente a $$\dfrac{x}{2}=\dfrac{10}{4}$$ Multiplicando ambos miembros por el mínimo común denominador de los denominadores, $\text{mcm}(2,4)=4$, podemos escribir $$4 \cdot \dfrac{x}{2}=4 \cdot \dfrac{10}{4}$$ y simmplificando $$2\,x=10$$ con lo que, despejando $x$ se obtiene $$x=5$$

$\square$

Plantear mediante el álgebra y resolver el siguiente problema

ENUNCIADO. La suma de un número y el doble de otro es igual a $1$, y la diferencia entre dichos números es $0$. ¿ De qué números estamos hablando ?.

SOLUCIÓN.
Denotemos por $x$ a uno de los sumandos. Entonces, por la segunda frase ( "la diferencia entre dichos números es $0$" ), deducimos que el otro número tiene que ser igual al primero. Ahora bien, por la primera frase ("La suma de un número y el doble de otro es igual a $1$" ), podemos escribir $$x+2x=1$$ luego $3x=1$, y, depejando $x$, encontramos su valor: $$x=\dfrac{1}{3}$$ El otro número tiene que tener este mismo valor, es decir, $\dfrac{1}{3}$.

Comprobación: $\dfrac{1}{3}+2\cdot \dfrac{1}{3} \overset{?}{=}1$. En efecto, el valor del primer miembro es $\dfrac{1}{3}+2\cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{1+2}{3}=\dfrac{3}{3}=1$, que se corresponde con el valor del segundo.

$\square$

Un problema de proporcionalidad compuesta

ENUNCIADO. Dos pintores pintan un muro de $30$ metros cuadrados en $20$ minutos. ¿ Cuánto tiempo tardarían tres pintores ( igualmente hábiles y trabajando en paralelo, sin interrumpirse unos a otros ) en pintar un muro de $90$ metros cuadrados ?

SOLUCIÓN. Este es un problema de proporcionalidad compuesta, pues intervienen tres magnitudes: el tiempo empleado $X$, el número de pintores $Y$, y el área a pintar $Z$. Vamos a resolverlo en dos pasos:

Primer paso. Como $X$ es directamente proporcional a $Z$ podemos plantear la siguiente proporción directa para calcular el tiempo, $x_2$, que tardan $2$ pintores en pintar $90$ metros cuadrados $$\dfrac{x_2}{90}=\dfrac{20}{30}$$ despejando $x_2$ obtenemos $$x_2=60 \; \text{minutos}$$

Segundo paso. Teniendo en cuanta, ahora, que, por otra parte, $X$ es inversamente proporcional $Y$, y denotando por $x_3$ el tiempo que tardarían $3$ pintores en pintar el muro de $90$ metros cuadrados, podemos plantear la siguiente proporción inversa $$\dfrac{x_3}{1/3}=\dfrac{60}{1/2}$$ esto es $$3\,x_3=120$$ luego $$x_3=40\;\text{minutos}$$
$\square$

Tasa de variación e índice de variación

Sea un magnitud $X$. Supongamos que su valor cambia de $x_i$ a $x_f$. Decimos entonces que la variación, $V$, entre estas dos medidas de $X$ es igual a $x_f-x_i$; y, que la variación relativa con respecto del valor inicial, o tasa de variación, $TV$, es $\dfrac{x_f-x_i}{x_i}$ ( esto es $\dfrac{V}{x_i}$ ), que viene, así, dada en tanto por unidad, si bien es usual expresarla también en tanto por ciento.

Observemos que debe cumplirse la siguiente proporción ( igualdad de razones aritméticas ) $$\dfrac{x_f}{x_i}=1+TV$$ expresando la tasa de variación en tanto por ciento, también podemos escribir $$\dfrac{x_f}{x_i}=\dfrac{100+TV}{100}$$ La cantidad del segundo miembro, $1+TV$, se denomina índice de variación ( y la denotaremos por $IV$ ) de la magnitud $X$ correspondiente al cambio de valores de dicha magnitud, de $x_i$ a $x_f$

Ejemplo:
ENUNCIADO.
En un municipio, la magnitud número de personas censadas, entre dos medidas, de la misma pasa de $400$ a $395$. ¿ Cuál la variación del censo entre estas dos medidas ? ¿ Cuál es la tasa de variación del censo ? ¿ Cuál es el valor del índice de variación del censo ?

SOLUCIÓN.
La variación del censo es $V=395-400=-5$. El que la variación sea negativa es debido a la disminución ( decremento ) del número de personas censadas de una medida ( $x_i=400$ ) a la siguiente ( $x_f=395$ )

La tasa de variación, $TV=\dfrac{V}{x_i}$, tiene el siguiente valor: $TV=\dfrac{-5}{400}=-0,0125$, que en tanto por ciento es igual a $-1,25\,\%$. Observación: el valor negativo de la tasa de variación indica que se ha producido una disminución.

El índice de variación, $IV=\dfrac{x_f}{x_i}=1+TV$, tiene el siguiente valor: $IV=1+(-0,0125)=0,9875$, que en tanto por ciento es igual a $98,75\,\%$. El que este valor sea inferior al $100\,\%$ denota que se ha producido una disminución del censo ( si se hubiese dado un aumento, este valor hubiese sido superior al $100\,\%$ ). Una observación más: tal y como se ha comentado, también podemos obtener el valor del índice de variación dividiendo $x_f$ entre $x_i$; en efecto, $IV=\dfrac{395}{400}=0,9875$, que expresado en tanto por ciento corresponde al $98,75\,\%$. $\square$

Geometría "de tortuga" con Scratch

Un sencillo programa con [Scratch] para trazar un cuadrado, a la usanza del lenguaje de programación Logo
Y así es como está hecho:

Soluciones a los ejercicios del examen de recuperación del 8/01/2016

[ 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 ]

operaciones con potencias

ENUNCIADO. Calcular el número entero resultante $$\displaystyle \left((2^2)^2\right)^3$$

SOLUCIÓN.
$$\displaystyle \left((2^2)^2\right)^3=2^{2\cdot 2 \cdot 3} = 2^{12}=2^{10}\cdot 2^2=1024 \cdot 2 \cdot 2 = 2048 \cdot 2 = 4096$$

operar con potencias

ENUNCIADO. Realizar la siguiente operación con potencias, expresando el resultado como una potencia de base $3$ $$3^4\cdot 3^3 \div 3^5$$

SOLUCIÓN.
$$3^{4+3-5}=3^2$$

operar con fracciones

ENUNCIADO.
Calcular la fracción irreducible resultante:
a) $\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{9}$
b) $\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{6}{4}$
c) $\dfrac{5}{2}\div \dfrac{25}{4}$

SOLUCIÓN.

Efectuar la siguiente división de números naturales

ENUNCIADO. Calcular el resto y el cociente de la siguiente división con números naturales $$123 \div 19$$

SOLUCIÓN.

Plantear y resolver

ENUNCIADO. Si a un número se le resta su tercera parte se obtiene el número $352$. ¿ De qué número estamos hablando ?

SOLUCIÓN.

traducir al lenguaje del álgebra

ENUNCIADO.
Escribir las expresiones algebraicas:
a) La diferencia de los cuadrados de dos números
b) El número entero consecutivo a uno dado
c) El cuádruple del cubo de un número
d) El área de un rectángulo, dado el ancho y el largo

SOLUCIÓN.
a) $x^2-y^2$
b) $n+1$
c) $4\,x^3$
d) $x\,y$

Resolver la ecuación de segundo grado ...

ENUNCIADO. Resolver la siguientes ecuación de segundo grado $$x^2+2\,x-3=0$$

SOLUCIÓN.

Ecuaciones de primer grado

ENUNCIADO. Resolver la siguiente ecuación de primer grado $$2\,x+5=1-3\,x$$

SOLUCIÓN.

Valor numérico de un polinomio

ENUNCIADO. Hallar el valor numérico del polinomio $A(x)=x^2-x+3$ para $x=-1$

SOLUCIÓN.

División de polinomios

ENUNCIADO. Considérense los polinomios $P(x)=9\,x^2+3\,x-3$ y $Q(x)=3\,x-1$. Realizar la siguiente división: $$P(x)\div Q(x)$$

SOLUCIÓN.

Resolver

ENUNCIADO. Resolver las siguientes ecuaciones:
a) $2x-1=4-7x$
b) $3\,(1-x)=4+5\,x$

SOLUCIÓN.
a)
$2x-1=4-7x$
  $2x+7x=4+1$
    $9x=5$
      $x=\dfrac{5}{9}$

b)
$3\,(1-x)=4+5\,x$
  $3 \cdot 1-3\,x=4+5\,x$
    $3-3\,x=4+5\,x$
      $3-4=5\,x+3\,x$
        $-1=8\,x$
          $x=\dfrac{-1}{8}=-\dfrac{1}{8}$
$\square$

Expresar en el lenguaje del álgebra

ENUNCIADO. Escribir las expresiones algebraicas:
a) El cuadrado de la diferencia de dos números
b) El inverso de un número
c) El opuesto de un número
d) El área de un círculo de radio dado
e) La longitud de una circunferencia de radio dado

SOLUCIÓN.
a) $(x-y)^2$
b) $\dfrac{1}{x}$
c) $-x$
d) $\pi \, r^2$
e) $2\,\pi\,r$
$\square$

Dividir los polinomios ...

ENUNCIADO. Calcular el polinomio cociente y el polinomio resto que corresponden a la siguiente división de polinomios: $$(4\,x^3-5\,x+1) \div 3\,x^2$$
y comprobar que se cumple el teorema de la división ( de polinomios ).

SOLUCIÓN.

Comprobación:

$\square$

Hallar el valor numérico de los polinomios, dados los siguientes valores de la variable

ENUNCIADO. Hallar el valor numérico del polinomio $$A(x)=7\,x^2-x+5\,x+5$$ para los siguientes valores de la variable $x$:
a) $x=-1$
b) $x=2$

SOLUCIÓN.
a)
$P(-1)=7\cdot (-1)^2-(-1)+5\cdot (-1)+5$
      $=7\cdot 1+1-5+5$
        $=7+1-5+5$
          $=8-5+5$
            $=8$

b)
$P(2)=7\cdot 2^2-2+5\cdot 2+5$
      $=7\cdot 4-2+10+5$
        $=28-2+10+5$
          $=26+10+5$
            $=36+5$
              $=41$

$\square$

Operar los siguientes polinomios

ENUNCIADO. Considérense los polinomios $$P(x)=8\,x^3+x^2-4\,x+5$$ $$Q(x)=3\,x^2-x^2+x-1$$ Realizar las siguientes operaciones con polinomios y decir cuál es el grado de los polinomios resultantes:
a) $2\,P(x)$
b) $-3\,Q(x)$
c) $P(x)+Q(x)$
d) $P(x)-Q(x)$
e) $Q(x)-P(x)$
f) $P(x)\cdot Q(x)$

SOLUCIÓN.
a)
$2\,P(x)=2\cdot ( 8\,x^3+x^2-4\,x+5 )= 2\cdot 8 \,x ^3+2\,x^2-2\cdot 4\,x+2\cdot 5=$
    $=16 \,x ^3+2\,x^2-8\,x+10$. El grado del polinomio resultante es $3$.

b)
$(-3)\,P(x)=(-3)\cdot ( 8\,x^3+x^2-4\,x+5 )=$
  $=(-3)\cdot 8 \,x ^3+(-3)\cdot x^2+(-3)(-4\,x)+(-3)\cdot 5=$
    $=-24 \,x ^3-3\,x^2+12\,x-15. $El grado del polinomio resultante es $3$.

c)
$(8\,x^3+x^2-4\,x+5)+(3\,x^2-x^2+x-1)=8\,x^3+4\,x^2-3\,x+4$. El grado del polinomio resultante es $3$.

d)
$(8\,x^3+x^2-4\,x+5)-(3\,x^2-x^2+x-1)=8\,x^3+x^2-3\,x^2-4\,x-x+5-(-1)=$
  $=8\,x^3-2\,x^2-5\,x+6$. El grado del polinomio resultante es $3$.

e)
$Q(x)-P(x)=-(P(x)-Q(x))=-(8\,x^3-2\,x^2-5\,x+6)=-8\,x^3+2\,x^2+5\,x-6$. El grado del polinomio resultante es $3$.

f)
$(8\,x^3+x^2-4\,x+5)\cdot (3\,x^2-x^2+x-1)=(8\,x^3+x^2-4\,x+5)\cdot (2\,x^2+x-1)=$
  $=16\,x^5+2x^4-8x^3-10x^2+$
    $+(-8)x^4-x^3+4x^2-5x+$
      $+(-8)x^3-x^2+4x-5=$
        $16x^5-6x^4-17x^3+13x^2-x-5$. El grado del polinomio producto es igual a la suma de los grados de los polinomios factores, esto es, el grado es $5$ ( como, además, podemos apreciar al observar el término de mayor grado ).
$\square$

Plantear mediante el álgebra y resolver

ENUNCIADO. En una librería, Ana compra un libro con la tercera parte de su dinero y un cómic con las dos terceras partes de lo que le quedaba. Al salir de la librería tenía $12$ euros. ¿Cuánto dinero tenía Ana antes de hacer su compra ?.

SOLUCIÓN.
Llamemos $x$ a la cantidad de dinero que tenía Ana antes de entrar en la librería. Entonces, $$x=\dfrac{x}{3}+\dfrac{2}{3}\,(x-\dfrac{x}{3})+12$$
Resolviendo esta ecuación:
$x=\dfrac{x}{3}+\dfrac{2}{3}\,(x-\dfrac{x}{3})+12$
  $x=\dfrac{x}{3}+\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{2}{3}\,x+12$
    $x=\dfrac{x}{3}+\dfrac{4}{9}\,x+12$
      $9x=9\cdot \dfrac{x}{3}+9\cdot \dfrac{4}{9}\,x+9\cdot 12$
        $9x=3x+4x+108$
          $9x-3x-4x=108$
            $2x=108$
              $x=108/2=54\;\text{euros}$
$\square$

Plantear y resolver

ENUNCIADO. El largo de un marco rectangular es el doble del ancho. ¿ Cuáles son sus dimensiones si el perímetro mide $30$ centímetros ?

SOLUCIÓN.
Denotemos por $x$ el ancho del marco, entonces
$$2\,(2x+x)=30$$
Resolvamos la ecuación:
$2\,(2x+x)=30$
  $2x+x=15$
    $3x=15$
      $x=15/3=5 \; \text{cm}$
luego el largo es igual a $2x=2\cdot 5=10\;\text{cm}$
$\square$

Platear y resolver el siguiente problema

ENUNCIADO. Si al doble de un número se le resta su mitad resulta el número $54$. ¿ De qué número estamos hablando ?

SOLUCIÓN.
Denotemos por $x$ el número pedido. Entonces, $$2x-\dfrac{x}{2}=54$$
Resolvamos, ahora, la ecuación:
$2x-\dfrac{x}{2}=54$
  $2\cdot 2x-2\cdot \dfrac{x}{2}=2\cdot 54$
    $4x-x=108$
      $3x=108$
        $x=\dfrac{108}{3}$
          $x=36$
$\square$

Resolver las ecuaciones de segundo grado

ENUNCIADO. Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado:
a) $x^2+4\,x-5=0$
b) $(x+1)(x-2)=0$

SOLUCIÓN.
a)
$x^2+4\,x-5=0$
  $1\cdot x^2+4\,x+(-5)=0$. Por tanto, en $ax^2+bx+c=0$, los valores de los coeficientes son $a=1$; $b=4$ y $c=-5$. Así, $$x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\dfrac{-4\pm \sqrt{4^2-4\cdot 1\cdot (-5)}}{2\cdot 1}=\dfrac{-4\pm \sqrt{36}}{2}=\dfrac{-4\pm 6}{2}$$
luego $x=\left\{\begin{matrix}\dfrac{-4+6}{2}=\dfrac{2}{2}=1\\\text{ó}\\\dfrac{-4-6}{2}=\dfrac{-10}{2}=-5\end{matrix}\right.$
Resumiendo, la solución de la ecuación pedida viene dada por el conjunto de números $\{-5\,,\,1\}$

b)
$(x+1)(x-2)=0$
Esta igualdad a $0$ sólo es posible si $x+1=0$, y, por tanto, si $x=-1$; o bien, si $x-2=0$, y, por tanto, si $x=2$. En conclusión, la solución de la ecuación pedida viene dada por el conjunto de números $\{-1\,,\,2\}$
$\square$

Resolver las ecuaciones de primer grado

ENUNCIADO. Resolver las siguientes ecuaciones de primer grado:
a) $2\,x+5=1-3\,x$
b) $\dfrac{x+1}{3}-\dfrac{5}{18}=\dfrac{x+1}{12}$

SOLUCIÓN.
a)
$2\,x+5=1-3\,x$
  $2\,x+4\,x=1-5$
    $6\,x=-4$
      $x=\dfrac{-4}{6}$
        $x=-\dfrac{4}{6}$
          $x=-\dfrac{2}{3}$

b)
$\dfrac{x+1}{3}-\dfrac{5}{18}=\dfrac{x+1}{12}$
Multiplicando en ambos miembros por $\text{m.c.m}(3,18,12)=\text{m.c.m}(3,2\cdot 3^2,2^2\cdot 3)=2^2\cdot 3^2=36$, obtenemos la siguiente ecuación equivalente
  $36\cdot \dfrac{x+1}{3}-36\cdot\dfrac{5}{18}=36\cdot\dfrac{x+1}{12}$
    $12\cdot(x+1)-2\cdot 5=3\cdot (x+1)$
      $12\,x+12-10=3\,x+3$
        $12\,x-3\,x=3-12+10$
          $9\,x=1$
            $x=\dfrac{1}{9}$
$\square$

Hallar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los siguientes números naturales

ENUNCIADO. Considerar los números naturales $42$, $72$ y $84$. Se pide:
a) el \textit{máximo común divisor} de dichos números
b) el \textit{mínimo común múltiplo} de dichos números

SOLUCIÓN. Descomponiendo en factores cada uno de los números: $$42=2\cdot 3 \cdot 7$$ $$72=2^3\cdot 3^2$$ $$84=2^2\cdot 3 \cdot 7$$
Por consiguiente $$\text{a)} \quad \text{m.c.d}(42\,,\,72\,,\,84)=\text{m.c.d}(2\cdot 3 \cdot 7\,,\,2^3\cdot 3^2\,,\,82^2\cdot 3 \cdot 7)=2\cdot 3=6$$ $$\text{b)} \quad\text{m.c.m}(42\,,\,72\,,\,84)=\text{m.c.m}(2\cdot 3 \cdot 7\,,\,2^3\cdot 3^2\,,\,82^2\cdot 3 \cdot 7)=2^3\cdot 3^2 \cdot 7=504$$
$\square$

[autoría]

Fracciones equivalentes y no-equivalentes

ENUNCIADO. ¿ Son equivalentes las fracciones $\dfrac{111}{112}$ y $\dfrac{112}{113}$ ?.
Razónese la respuesta.

SOLUCIÓN. Para que dos fracciones sean equivalentes es necesario que el producto de medios sea igual al producto de extremos. Sin embargo es evidente que $111 \cdot 113 \neq 112 \cdot 112 $, luego las fracciones pedidas no son equivalentes, y se escribe $$\dfrac{111}{112} \neq \dfrac{112}{113}$$
$\square$

[autoría]

Simplificación de fracciones

ENUNCIADO. Calcular la fracción irreducible resultante:
a) $\dfrac{2}{3}-\dfrac{5}{18}+\dfrac{1}{12}$
b) $\dfrac{7}{4}\cdot \dfrac{8}{14}$
c) $\dfrac{9}{5}\div \dfrac{81}{125}$

SOLUCIÓN.

a)

$\dfrac{2}{3}-\dfrac{5}{18}+\dfrac{1}{12}=$

  $=\dfrac{2\cdot (36\div 3)}{36}-\dfrac{5 \cdot ( 36 \div 18) }{36}+\dfrac{1\cdot ( 36\div 12)}{36}$ ( reduciendo a común denominador; el mínimo común múltiplo de los denominadores es $36$.)

    $=\dfrac{24}{36}-\dfrac{10 }{36}+\dfrac{3}{36}$

      $=\dfrac{24}{36}+\dfrac{(-10) }{36}+\dfrac{3}{36}$

        $=\dfrac{24+(-10)+3}{36}$

          $=\dfrac{24+(-10)+3}{36}$

            $=\dfrac{17}{36}$

b)

$\dfrac{7}{4}\cdot \dfrac{8}{14}=$

  $=\dfrac{7 \cdot 8}{4 \cdot 14}$

    $=\dfrac{8 \cdot 7}{4 \cdot 14}$

      $=\dfrac{8}{4}\cdot \dfrac{7}{14}$

        $=2\cdot \dfrac{1}{2}$

          $=1$

c)

$\dfrac{9}{5}\div \dfrac{81}{125}=$

  $=\dfrac{9}{5} \cdot \text{inverso}\left( \dfrac{81}{125}\right)$

    $=\dfrac{9}{5}\div \dfrac{125}{81}$

    $=\dfrac{9\cdot 125}{5 \cdot 81}$

      $=\dfrac{125}{5}\cdot \dfrac{9}{81}$

        $=25\cdot \dfrac{1}{9}$

          $=\dfrac{25}{9}$

$\square$

[autoría]

Cálculo de radicales

ENUNCIADO. El área de un cuadrado mide $169 \; \text{m}^2$, ¿ cuánto mide su perímetro ?.

SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ la longitud del lado del cuadrado, entonces $x^2=169$, luego $x=\sqrt{169}=13\; \text{m}$. Y como el perímetro, $P$, es $4x$, encontramos que $P=4\cdot 13 = 52\;\text{m}$
$\square$

[autoría]

Cálculo de radicales

ENUNCIADO. Calcular el siguiente radical ( sin utilizar la calculadora científica ), dando como resultado el menor número natural más próximo ( a dicho radical ) así como el número natural que representa el resto de la operación $$\sqrt{2449}$$

SOLUCIÓN. Observemos que $50^2=2500 \succ 2449$ y que $49^2=2401 \prec 2449$, luego podemos decir que $\sqrt{2449}$ es igual a $49$ con resto $2449-2401=48$
$\square$

[autoría]

Fracciones propias e impropias

ENUNCIADO. Expresar la fracción impropia $\dfrac{7}{5}$ en forma mixta, esto es, como la suma del número entero menor y más próximo a la fracción y una fracción propia.

SOLUCIÓN. De la división entera $7\div 5$ obtenemos $1$ de cociente y $2$ de resto, entonces $7=5\cdot 1 +2$; así que, multiplicando por $\dfrac{1}{5}$ en cada miembro de esta igualdad, llegamos a $\dfrac{1}{5}\cdot 7=\dfrac{1}{5}\cdot 5\cdot 1 +\dfrac{1}{5}\cdot 2$, esto es (simplificando), $$\dfrac{7}{5}=1+\dfrac{2}{5}$$
$\square$

[autoría]

Ordenación de fracciones

ENUNCIADO. Ordenar de menor a mayor las siguientes fracciones, sin recurrir a sus expresiones decimales:
$$\lbrace \,\dfrac{3}{4}\,,\,\dfrac{2}{3}\,,\,\dfrac{4}{3}\,,\,\dfrac{4}{5}\,,\,\dfrac{3}{2} \, \rbrace$$

ENUNCIADO. Para comparar las fracciones, procedemos a reducirlas a común denominador ( encontramos una fracción equivalente, a cada una, que tenga el mismo denominador ), de este modo, bastará ordenar los nuevos numeradores para que dicho orden determine el orden de las fracciones respectivas. Calculemos, pues, el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones dadas $$\text{m.c.m}(2,3,4,5)=60$$

Así,

$\dfrac{3}{4}=\dfrac{3\cdot 15}{60}=\dfrac{45}{60}$

$\dfrac{2}{3}=\dfrac{2\cdot 20}{60}=\dfrac{40}{60}$

$\dfrac{4}{3}=\dfrac{4\cdot 20}{60}=\dfrac{80}{60}$

$\dfrac{4}{5}=\dfrac{4\cdot 12}{60}=\dfrac{48}{60}$

$\dfrac{3}{2}=\dfrac{3\cdot 30}{60}=\dfrac{90}{60}$

Por tanto, $$\dfrac{2}{3} \prec \dfrac{3}{4} \prec \dfrac{4}{5} \prec \dfrac{4}{3} \prec \dfrac{3}{2} $$

$\square$

[autoría]

División entera

ENUNCIADO. Calcular el resto y el cociente de la siguiente división entera $$1258 \div 145$$

SOLUCIÓN. $\text{cociente}(1258 \div 145)=8$, ya que $8 \cdot 145 \prec 1258$ y $(8+1) \cdot 145 \succ 1258$; entonces $\text{resto}(1258 \div 145)=1258-8\cdot 145=98$
$\square$

[autoría]

Expresión decimal de una fracción

ENUNCIADO. Expresar las siguientes fracciones ( de números enteros ) en forma decimal y decir si se trata de un número decimal exacto, periódico puro, o bien periódico mixto:
a) $\dfrac{4}{9}$
b) $\dfrac{8}{11}$
c) $\dfrac{6}{13}$
d) $\dfrac{97}{90}$

SOLUCIÓN.

Realizando la división decimal del numerador entre el denominador, de cada fracción:

a) $\dfrac{4}{9}=0,\overline{4}$   ( número decimal periódico puro )

b) $\dfrac{8}{11}=0,\overline{561538}$   ( número decimal periódico puro )

d) $\dfrac{97}{90}=1,0\,\overline{7}$   ( número decimal periódico mixto )

$\square$

[autoría]

Operaciones con números enteros

ENUNCIADO. Efectuar las siguientes operaciones con números:
a) $1-\text{opuesto}(3)+2-|3|$
b) $1-(-1)-\text{opuesto}(1)$
c) $(4+|-1|)^3 \div 25-1$
d) $2+2^5 \div 2^3-2^2 $
e) $3^2 \cdot 3^3 \cdot 5^0$
f) $\left((-2)^5\right)^2$
g) $\left(2+3\right)^3$
h) $\sqrt{121 \cdot 625}$

SOLUCIÓN.
a)

$1-\text{opuesto}(3)+2-|3|=$

  $=1-(-3)+2-3$

    $=1+\text{opuesto}(-3)+2-3$

      $=1+3+2-3$

        $=3$

b)

$1-(-1)-\text{opuesto}(1)=$

  $=1+\text{opuesto}(-1)-(-1)$

    $=1+1+\text{opuesto}(-1)$

      $=1+1+1$

        $=3$

c)

$(4+|-1|)^3 \div 25-1=$

  $=(4+1)^3 \div 25 -1$

    $=5^3 \div 25 -1$

      $=125 \div 25 -1$

        $=5 -1$

          $=4$

d)

$2+2^5 \div 2^3-2^2=$

  $=2+2^{5-3}-2^2$

    $=2+2^{2}-2^2$

      $=2+0$

        $=2$

e)

$3^2 \cdot 3^3 \cdot 5^0=$

  $=3^2 \cdot 3^3 \cdot 1$

    $=9 \cdot 27 \cdot 1$

      $=243$

f)

$\left((-2)^5\right)^2=$

  $=\left(-2^5\right)^2$

    $=\left((-1)\cdot 2^5\right)^2$

    $=(-1)^2 \cdot \left(2^5\right)^2$

      $=(+1) \cdot {2^5 \cdot 2}$

        $=2^{10}$

          $=1024$

g)

$\left(2+3\right)^3=$

  $=5^3$

    $=125$

h)

$\sqrt{121 \cdot 625}=$

  $=\sqrt{121} \cdot \sqrt{625}$

    $=11 \cdot 25$

      $=275$

$\square$

[autoría]

Fotografía de un número hexagonal y triangular

Madrid, Octubre de 2015

[número hexagonal] que también es triangular.

[autoría]

Fotografía de un número triangular

Madrid, Octubre de 1015

[ número triangular ]

[autoría]

Hemos recorrido tres cuartas partes de ...

ENUNCIADO. Hemos recorrido tres cuartas partes de un camino, y aún nos quedan $2$ quilómetros para llegar. Se pide:
a) ¿ Qué fracción del camino nos queda por recorrer ?
b) ¿ Qué longitud de camino hemos recorrido ?
c) ¿ Cuál es la longitud total del camino ?

SOLUCIÓN.
a) Si hemos recorrido tres cuartas partes del camino, nos queda por recorrer $\dfrac{4}{4}-\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{4}$ del camino
c) Denotando por $x$ la longitud del camino, debe cumplirse la siguiente equivalencia $$\dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{x}$$ con lo cual $$1 \cdot x = 2 \cdot 4$$ esto es $$x=8\,\text{km}$$
b) Como el camino tiene una longitud de $8 \, \text{km}$ y faltan $2\, \text{km}$ por recorrer, hemos recorrido ya $8-2=6\, \text{km}$
$\square$

[autoría]

El número de páginas de un libro ...

ENUNCIADO. El número de páginas de un libro es igual a un número cuadrado más $13$. Si se le suma $20$ ( al número de páginas de este libro ), se obtiene el número cuadrado mayor y más próximo al número cuadrado del que hablábamos. ¿ Cuántas páginas tiene el libro ?.

SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ al número cuadrado del que se habla en la primera frase. Entonces cabe plantear la siguiente igualdad:
$$(x^2+13)+20=(x+1)^2$$ es decir $$x^2+33=x^2+2\,x+1$$ simplificando $$33=2\,x+1$$ esto es $$32=2\,x$$ luego $x=16$ y, por tanto, el número de páginas del libro es $16^2+13=256+13=269$.
$\square$

[autoría]

¿ Qué longitud de hilo se necesita para ... ?

ENUNCIADO. Se quiere rodear una parcela cuadrada e $1225 \, \text{m}^2$ de superficie con un hilo. ¿ Cuántos metros de hilo necesitamos ?

SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ la longitud de un lado de la parcela cuadrada, entonces $1125 = x^2$, luego $=\sqrt{1225}=35 \, \text{m}$; así, el perímetro, que es $4\,x$, es $4 \cdot 35 = 140 \, \text{m}$
$\square$

[autoría]

Hallar el menor número entero positivo tal que ...

ENUNCIADO. Hallar el menor número entero positivo que hay que restar a $8561$ para obtener un número cuadrado.

SOLUCIÓN. Como $91^2=8281 \prec 8561$, probamos con $92$; $92^2=8464 \prec 8561$; sin embargo $93^2=8649 \succ 8561$, luego el número cuadrado mayor que $8561$ y más cercano al mismo es $8464$. Por consiguiente, debemos encontrar $x$ tal que $8561-x=8464$, esto es, $x=8561-8464$, que es igual a 97. $\square$

[autoría]

Expresar en forma de suma de términos con potencias de diez

ENUNCIADO. Expresar el número $8495,716$ como una suma de términos con potencias de diez.

SOLUCIÓN. La cantidad dada significa, en forma literal, lo siguiente: ocho millares y cuatro centenas y nueve decenas y cinco unidades y siete décimas y una centésima y seis milésimas ( de acuerdo con el significado de la notación posicional del sistema decimal ), luego podemos escribir lo que nos piden de la forma $$8495,716=8\cdot 10^3+4\cdot 10^2+9\cdot 10+5+7\cdot 10^{-1}+1 \cdot 10^{-2}+6\cdot 10^{-3}$$
$\square$

[autoría]

Determinar el menor número entero tal que ...

ENUNCIADO. Determinar el menor número entero más próximo a $\sqrt{29}$ y el resto correspondiente.

SOLUCIÓN. Com $5^2=25 \prec 29$ y $6^2=36 \succ 29$, el número pedido es $5$, y el resto es igual a $29-5^2=4$.

Nota: Podemos acotar la raíz cuadrada de $29$ entre los números enteros $5$ y $6$. Y lo escribimos de la siguiente forma $5 \prec \sqrt{29} \prec 6$

$\square$

[autoría]

Relación entre el máximo común divisor y mínimo común múltiplo de dos números enteros

ENUNCIADO:
Sabiendo que $\text{m.c.d}(|15|,|-10|)=5$ ( es decir, $\text{m.c.d}(15,-10)=\pm \,5$ ) , determinar $\text{m.c.m}(15,-10)$

SOLUCIÓN:
Sabemos que dados dos números enteros $m$ y $n$, se cumple la siguiente propiedad: $$\text{m.c.d}(|m|,|n|) \cdot \text{m.c.m}(|m|,|n|)=|m|\cdot |n|$$ entoces podemos escribir $$5 \cdot \text{m.c.m}(|15|,|-10|) = 15 \cdot 10$$ de donde, despejando $\text{m.c.m}(|15|,|-10|)$ obtenemos $$\text{m.c.m}(|15|,|-10|)=\dfrac{|15| \cdot |-10|}{5} $$ esto es $$\text{m.c.m}(|15|,|-10|)=\dfrac{150}{5}=30 $$ luego deducimos que $$\text{m.c.m}(15,-10)=\pm \, 30$$
$\square$

[autoría]

Realizar la siguiente división con números enteros ...

ENUNCIADO:
Hallar el cociente y el resto de la división entera $-15 \div 7$

SOLUCIÓN:
El teorema de la división entera dice que dados dos números enteros cualesquiera $D$ y $d$, a los que denominamos dividendo y divisor, respectivamente, entonces podemos encontrar otros dos números enteros, $c$ y $r$, a los que denominamos cociente y resto de la división, que cumple las siguientes condiciones:
i) $D=d\cdot c +r$
y
ii) $0 \le r \prec |d|$ ( el resto es mayor o igual que cero y menor que el valor absoluto del divisor )

Procedemos a encontrar los números $c$ y $r$ que cumplen estas condiciones, siendo $D:=-15$ y $d:=7$. Para el cociente, probemos con un número tal que multiplicado por el divisor $7$ nos dé un número que se aproxime al dividendo, que es $-15$. Por la regla de los signos del producto, sabemos que debe ser negativo ( ya que el dividendo es negativo y el divisor positivo ); así que, ensayemos el número $c \rightarrow -2$. Como $-2 \cdot 7 = -14 \succ -15$, el resto de la división seria $-15-(7\cdot (-2)=-1\prec 0$, luego al ser el resto negativo se incumple la segunda condición y por tanto no podemos admitir $-2$ como cociente, así que pasemos al siguiente número entero más pequeño, es decir hagamos $c \rightarrow -3$. Como $-3 \cdot 7 = -21$, y el resto es $-15-(7\cdot (-3)=6\succ 0$ ( se cumple la segunda condición ), concluimos que $c=-3$, luego el resto de la división debe ser $-15-(-21)=-14+21=6$, es decir $r=6$.

Sólo nos falta comprobar que, con estos valores del cociente y resto, se cumple también la primera condición; en efecto: $-15=7\cdot (-3)+6$. Por consiguiente, podemos afirmar que el cociente y el resto pedidos son: $c=-3$ y $r=7$

$\square$

Hallar el máximo común divisor de los números naturales $64$ y $24$, empleando el método de Euclides

ENUNCIADO:
Determinar el máximo común divisor de $64$ y $24$ empleando el método de las divisiones sucesivas o método de Euclides.

SOLUCIÓN:
Este método se basa en hallar el cociente y el resto de la división de números naturales [ lógicamente, entre el mayor de los dos números ( $D_1$ ) y el menor ($d_1$ ) ]; si el resto de dicha división es $0$, el máximo común divisor pedido es igual al menor de los dos ( el divisor ), y hemos terminado; si no es así, hacemos otra división, donde el nuevo dividendo es ahora el antiguo divisor y el nuevo divisor el antiguo resto, haciendo la misma comprobación ( si el nuevo resto es cero, el máximo común divisor de los dos números pedidos es el divisor de dicha división ); en caso contrario, volvemos a repetir el mismo paso ( otra división, asignando nuevo dividendo y nuevo divisor ) y, así, una y otra vez, hasta llegar a una división cuyo resto sea cero, de lo cual concluiremos que el $\text{m.c.d}(64,24)$ ha de ser igual al divisor de esta última división, y terminamos.

Bien, en el caso del enunciado:

$D_1=64$ y $d_1=24$ y realizamos la división
$$64 \div 24 \rightarrow \left\{\begin{matrix}
c_1=2 \\
\\
\text{y}
\\
r_1=16 \neq 0 \rightarrow \left\{\begin{matrix}
D_2:=d_1=24 \\
\\
d_2:=r_1=16
\end{matrix}\right.
\end{matrix}\right.$$

como el resto no es cero, continuamos ...

$D_2=24$ y $d_2=16$ y realizamos la división:
$$24 \div 16 \rightarrow \left\{\begin{matrix}
c_2=1 \\
\\
\text{y}
\\
r_2=8 \neq 0 \rightarrow \left\{\begin{matrix}
D_3:=d_2=16 \\
\\
d_3:=r_2=8
\end{matrix}\right.
\end{matrix}\right.$$

como el resto no es cero, continuamos ...

$D_3=16$ y $d_3=8$ y realizamos la división:
$$16 \div 8 \rightarrow \left\{\begin{matrix}
c_3=2 \\
\\
\text{y}
\\
r_2=0
\end{matrix}\right.$$

y como el resto ( en este paso ) es cero , concluimos que $\text{m.c.d.}(64,24)=d_3=8$, y hemos terminado.

OBSERVACIÓN: Teniendo en cuenta que todo número natural es también un número entero, si interpretamos los números naturales dados como números enteros, debemos decir que el $\text{m.c.d.}(64,24)$ no es tan solo $8$ sino también $-8$; en efecto, al ser el resto de la división $64 \div (-8)$ ( ahora, división entera ) igual a $0$, es claro que $-8$ también es divisor de $64$; y, lo mismo, sucede con respecto a la división de $24$ entre $-8$.

$\square$

División de números naturales

ENUNCIADO:
Calcular el resto, $r$, de la división del número natural $15$ ( dividendo ) entre el número natural $7$ ( divisor ) mediante el procedimiento de las restas sucesivas.

SOLUCIÓN:
Procedamos a restar el divisor ( $7$ ) del dividendo ( $15$ ), luego sustituimos el dividendo por el resultado de la resta y volvemos a restar el divisor de dicho número, y, así, hasta llegar a una resta cuyo resultado sea menor que el divisor; el resultado de esta última resta ha de ser el valor del resto de la división. Lo abreviaremos con la siguiente notación:

Partimos de
$$[15 \quad ; \quad 7]$$
y restamos sucesivamente
$$\text{i)} \quad [15-7=8 \quad ; \quad 7]$$
$$\text{ii)} \quad [8-7=1 \prec 7 \quad ; \quad 7] $$
y acabamos ( ya que el valor de la resta, $1$, es menor que el del divisor ), luego deducimos que $$r=1$$

Comprobación:
Se cumple el teorema de la división con números naturales. En efecto: como hemos realizado dos pasos en dicho proceso, el cociente de la división es $c=2$; y como el resto hallado es $r=1$, se comprueba que se cumple la igualdad $15 = 7 \cdot 2 + 1$, y, además $r=1 \prec 7$ ( el resto es mayor que el divisor ).

$\square$

[autoría]

Realizar las siguientes operaciones, donde interviene el valor absoluto y el opuesto de un número

ENUNCIADO:
Calcular:
a) $|(-3)|-(-3)$

b) $\text{opuesto}(-3)-(-3)$

c) $|3|-(+3)$

d) $\text{opuesto}(+3)-(+3)$

e) $|(-3)|-(-3)$

f) f) $(+3)-|(+3)|$

g) $(-3)-|(-3)|$


SOLUCIÓN:
a) $|(-3)|-(-3)=(+3)+\text{opuesto}(-3)=(+3)+(+3)=+6$

b) $\text{opuesto}(-3)-(-3)=(+3)+\text{opuesto(-3)=(+3)+(+3)=+6}$

c) $|(+3)|-(+3)=(+3)+\text{opuesto}(+3)=(+3)+(-3)=0$

d) $\text{opuesto}(+3)-(+3)=(-3)+\text{opuesto}(+3)=(-3)+(-3)=-6$

e) $|(-3)|-(-3)=(+3)+\text{opuesto}(-3)=(+3)+(+3)=+6$

f) $(+3)-|(+3)|=(+3)-(+3)=(+3)+\text{opuesto}(+3)=(+3)+(-3)=0$

g) $(-3)-|(-3)|=(-3)-(+3)=(-3)+\text{opuesto}(+3)=(-3)+(-3)=-6$

$\square$

[autoría]

Resta de números enteros

ENUNCIADO:
Demostrar que la resta de dos números enteros no cumple la propiedad conmutativa. Ayuda: basta encontrar un contra-ejemplo.

SOLUCIÓN:
Supongamos que se cumple la propiedad conmutativa para la operación resta de números enteros, entonces, por un lado tenemos que $$(+2)-(+1)=(+2)+\text{opuesto}(+1)=+2+(-1)=+1$$ por otra parte $$(+1)-(+2)=(+1)+\text{opuesto}(+2)=(+1)+(-2)=-1$$ y como hemos supuesto que ambos resultados deben ser iguales, $+1 = -1$, lo cual es es absurdo, luego debemos negar lo que hemos supuesto al principio ( "la resta de dos números enteros es conmutativa " ), y, de ello concluimos que la resta de dos números enteros no es conmutativa, tal como queríamos demostrar.

$\square$

[autoría]

Resta de números enteros

ENUNCIADO:
Expresar las siguientes restas de números enteros mediante la combinación de la operación suma y el opuesto del sustraendo, y finalmente, calcular el resultado de dicha resta:
a) $(+5)-(+1)$
b) $(-1)-(-7)$
c) $(-11)-(+3)$

SOLUCIÓN:
a) $(+5)-(+1)=(+5)+\text{opuesto}(+1)=(+5)+(-1)=+4$
b) $(-1)-(-7)=(-1)+\text{opuesto}(-7)=(-1)+(+7)=+6$
c) $(-11)-(+3)=(-11)+\text{opuesto}(+3)=(-11)+(-3)=-14$

$\square$

[autoría]

proporcionalidad simple y directa ...

Porcentajes ...