División de números naturales

ENUNCIADO:
Calcular el resto, $r$, de la división del número natural $15$ ( dividendo ) entre el número natural $7$ ( divisor ) mediante el procedimiento de las restas sucesivas.

SOLUCIÓN:
Procedamos a restar el divisor ( $7$ ) del dividendo ( $15$ ), luego sustituimos el dividendo por el resultado de la resta y volvemos a restar el divisor de dicho número, y, así, hasta llegar a una resta cuyo resultado sea menor que el divisor; el resultado de esta última resta ha de ser el valor del resto de la división. Lo abreviaremos con la siguiente notación:

Partimos de
$$[15 \quad ; \quad 7]$$
y restamos sucesivamente
$$\text{i)} \quad [15-7=8 \quad ; \quad 7]$$
$$\text{ii)} \quad [8-7=1 \prec 7 \quad ; \quad 7]$$
y acabamos ( ya que el valor de la resta, $1$, es menor que el del divisor ), luego deducimos que $$r=1$$

Comprobación:
Se cumple el teorema de la división con números naturales. En efecto: como hemos realizado dos pasos en dicho proceso, el cociente de la división es $c=2$; y como el resto hallado es $r=1$, se comprueba que se cumple la igualdad $15 = 7 \cdot 2 + 1$, y, además $r=1 \prec 7$ ( el resto es mayor que el divisor ).

$\square$

[autoría]