Un exercici sobre el càlcul de l'àrea i del perímetre d'una figura plana

Enunciat:
Calculeu l'àrea de la figura i la longitud del seu contorn

Resolució:
Observant la figura de sota és evident que l'àrea demanada és igual a l'àrea del mig cercle de radi igual a $2 \; \text{cm}$, és a dir
$A=\dfrac{1}{2}\, \pi \cdot 2^2 \approx 6 \; \text{cm}^2 $

Pel que fa a la longitud del contorn, és igual
$\dfrac{1}{2} \Big( \, 2\, \pi \cdot 2 \Big) + 2\, \pi \cdot 1 \approx 13 \; \text{cm}$

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Ejercicios resueltos del examen extraordinario de Septiembre ( temas 1-14), realizado 1/09/2016

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Un ejercicio de estadística descriptiva de una variable

ENUNCIADO. A partir de los siguientes datos ( de una cierta variable estadística ) $$\{1,2,3,4,1,4,3,2,1,1,2,3,3,2,1,2,3,2,2\}$$
se pide:
a) Elaborar una tabla de frecuencias
b) Dibujar el diagrama de barras
c) Calcular la moda, la media y la mediana

SOLUCIÓN.

a)

b)

c)
La moda corresponde al valor que se repite un mayor número de veces, en este caso es igual $2$ ( se repite $7$ veces )
La media se define como la suma de todos los valores dividida por el número de valores ( que es $19$ ): $\bar{x}=\dfrac{1\cdot 5+2\cdot 7+3\cdot 5 +4 \cdot 2}{19}=\dfrac{42}{19}\approx 2,2$
La mediana es el valor central de los datos ordenados de menor a mayor; consultando la columna de frecuencias acumuladas vemos que es igual a $x_{10}=2$

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Resolviendo ecuaciones de primer grado con una incógnita

ENUNCIADO. Resolver las siguientes ecuaciones:
a) $2\,(x-1)=5\,(x+1)$
b) $\dfrac{3}{x+1}=\dfrac{2}{1-x}$

SOLUCIÓN.
a)
$2\,(x-1)=5\,(x+1)$

  $2x-2=5x+5$

    $-2+(-5)=5x+(-2x)$

      $-2-5=5x-2x$

        $-7=3x$

          $x=\dfrac{-7}{3}$

            $x=-\dfrac{7}{3}$

b)
$\dfrac{3}{x+1}=\dfrac{2}{1-x} \Leftrightarrow 3\,(1-x)=2\,(x+1)$

  $3-3\,x=2x+2$

    $3+(-2)=2x-(-3x)$

      $3-2=2x+3x$

        $1=5x$

          $x=\dfrac{1}{5}$

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Área y perímetro de un trapecio isósceles

ENUNCIADO. Calcular el área y el perímetro de un trapecio isósceles tal que la longitud de cada uno de los lados oblicuos es igual a $5$ decímetros, siendo las longitudes de los lados paralelos $7$ y $13$ decímetros, respectivamente.

SOLUCIÓN.

El área $\mathcal{A}$ del trapecio viene dada por la semisuma de las longitudes de los lados paralelos multiplicada por la distancia ( perpendicular ) entre éstos, es decir, $$\mathcal{A}=\dfrac{7+13}{2}\,h \quad \quad (1)$$ Debemos, pues, determinar el valor de $h$. Pare ello, utilizamos el teorema de Pitágoras aplicado al triángulo rectángulo resaltado, así $h^2=5^2-3^2$, y por tanto, $h^2=16$, con lo cual $h=\sqrt{16}=4\,\text{dm}$. Sustituyendo este resultado en (1) obtenemos $$\mathcal{A}=\dfrac{7+13}{2}\cdot 4= 40\,\text{dm}^2$$

Por otra parte, el perímetro ( la suma de las longitudes de los lados ) se calcula aquí de forma directa: $$\mathcal{P}=2\cdot 5+10+7= 30\,\text{dm}$$
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Medidas en un depósito ...

ENUNCIADO. Un depósito de agua tiene forma de ortoedro ( prisma recto de base rectangular ). Las medidas interiores ( longitudes de las aristas ) del depósito son: $1$, $2$ y $3$ metros, respectivamente. Se pide:
a) Dibujar una figura esquemática del depósito y anotar en ella las medidas
b) Calcular la capacidad del depósito, expresada en litros
c) Calcular la longitud de la diagonal del prisma
d) ¿ En cuánto tiempo se vaciará el depósito ( lleno ) mediante una conducción de agua, que lleva un caudal de $3 \; \dfrac{\text{L}}{\text{min}}$ ?

SOLUCIÓN.
a)

b) El volumen de un ortoedro viene dado por el producto de las longitudes de las tres aristas desiguales, $$V=1\cdot 2 \cdot 3 = 6 \,\text{m}^3 = 6000\,\text{dm}^3$$
Teniendo en cuenta la equivalencia $1\,\text{dm}^3= 1\,\text{L}$, la capacidad $C$ del depósito es igual a $$C=6000\,\text{L}$$

c) Por la aplicación del teorema de Pitágoras en los dos triángulos rectángulos que se forman en la figura, $$d^2=1^2+2^2+3^2$$ por tanto $$d=\sqrt{14}\,\text{dm}$$ ( Observación: $3 < \text{14} < 4 $ )

d) Planteando la proporción entre la cantidad de agua que contiene el depósito en un momento dado y el tiempo que se tarda en vaciarla, $$\dfrac{3}{1}=\dfrac{6000}{t}$$ siendo $t$ el tiempo ( en minutos ) necesario para vaciar el depósito lleno. Así, $$\dfrac{t}{6000}=\dfrac{1}{3}$$ es decir $$t=\dfrac{6000}{3}=2000\, \text{min}=1\,\text{día}\;\; 9\,\text{h}\,\,20 \,\text{min}$$

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Relación entre los volúmenes y escala lineal

ENUNCIADO. Un cierto cubo tiene un volumen de $27$ decímetros cúbicos. Considérese ahora otro cubo cuya arista tiene una longitud igual a la tercera parte de la longitud de la arista del primer cubo, ¿ cuál es el volumen del segundo cubo ? ¿ Cuál es el área del desarrollo plano de cada uno de los dos cubos ?.

SOLUCIÓN. Llamemos $V$ al volumen pedido. Sabemos que $V < 27$. Sabemos también que la razón de los volúmenes es igual a la razón de semejanza elevada al cubo $$\dfrac{V}{27}=r^3$$ siendo $r$ la razón de semejanza, que es igual a $\dfrac{1}{3}$. Así, $$\dfrac{V}{27}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^3$$ esto es $$\dfrac{V}{27}=\dfrac{1}{27}$$ y por tanto $$V=1\,\text{dm}^3$$

La longitud de la arista de dicho cubo es tal que $\ell^3=1$, luego $\ell=\sqrt[3]{1}=1\,\text{dm}^2$. Como el desarrollo plano del cubo consta de $6$ cuadrados iguales, el área $A$ pedida es igual a $A=6\cdot \ell^2=6 \cdot 1^2=6\cdot 1=6 \,\text{dm}^2$

Por otra parte, el área del cubo grande $A'$ ha de cumplir que $$\dfrac{A}{A'}=r^2$$ así $$\dfrac{6}{A'}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^2$$ esto es $$\dfrac{A'}{6}=9$$ luego $$A'=6\cdot 9 = 54 \,\text{dm}^2$$

NOTA: Otro forma de calcular el área del cubo grande es la siguiente. Como sabemos que su volumen es de $27\,\text{dm}^3$, entonces la longitud de una de sus aristas ( todas iguales ) es $(\ell')^3=27$, por tanto $$\ell'=\sqrt[3]{27}=3\,\text{dm}$$ Por consiguiente, sus caras son cuadrados de $3\,\text{dm}$ de lado, y el área de una de sus caras es $3^2=9\,\text{dm}^2$. Como el desarrollo del cubo consta de $6$ caras cuadradas iguales, el área pedida es $A'=6\cdot 9 = 54 \,\text{dm}^2$
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Plantear y resolver mediante el álgebra

ENUNCIADO. La mitad de la cuarta parte de una cierta cantidad, sumada a la tercer parte de esa misma cantidad, es igual a $14$. ¿ De qué cantidad ( no necesariamente entera ) estamos hablando ?.

SOLUCIÓN. Llamemos $x$ a la cantidad pedida. Entonces, traduciendo al lenguaje del álgebra $$\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{4}\,x\right)+\dfrac{1}{3}\,x=14$$ ecuación que es equivalente a la siguiente $$\dfrac{1}{8}\,x+\dfrac{1}{3}\,x=14$$ Reduciendo a común denominador ( el mínimo común múltiplo de los denominadores es igual a $24$ ), $$24\cdot \dfrac{1}{8}\,x+24\cdot \dfrac{1}{3}=24\cdot 14$$ que podemos expresar de la forma $$3x+8x=336$$ $$11x=336$$ de donde $$x=\dfrac{336}{11}$$

Observación: Notemos que $30 < x < 31 $

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Aplicant el teorema de Pitàgores