Relación entre los volúmenes y escala lineal

ENUNCIADO. Un cierto cubo tiene un volumen de $27$ decímetros cúbicos. Considérese ahora otro cubo cuya arista tiene una longitud igual a la tercera parte de la longitud de la arista del primer cubo, ¿ cuál es el volumen del segundo cubo ? ¿ Cuál es el área del desarrollo plano de cada uno de los dos cubos ?.

SOLUCIÓN. Llamemos $V$ al volumen pedido. Sabemos que $V < 27$. Sabemos también que la razón de los volúmenes es igual a la razón de semejanza elevada al cubo $$\dfrac{V}{27}=r^3$$ siendo $r$ la razón de semejanza, que es igual a $\dfrac{1}{3}$. Así, $$\dfrac{V}{27}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^3$$ esto es $$\dfrac{V}{27}=\dfrac{1}{27}$$ y por tanto $$V=1\,\text{dm}^3$$

La longitud de la arista de dicho cubo es tal que $\ell^3=1$, luego $\ell=\sqrt[3]{1}=1\,\text{dm}^2$. Como el desarrollo plano del cubo consta de $6$ cuadrados iguales, el área $A$ pedida es igual a $A=6\cdot \ell^2=6 \cdot 1^2=6\cdot 1=6 \,\text{dm}^2$

Por otra parte, el área del cubo grande $A'$ ha de cumplir que $$\dfrac{A}{A'}=r^2$$ así $$\dfrac{6}{A'}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^2$$ esto es $$\dfrac{A'}{6}=9$$ luego $$A'=6\cdot 9 = 54 \,\text{dm}^2$$

NOTA: Otro forma de calcular el área del cubo grande es la siguiente. Como sabemos que su volumen es de $27\,\text{dm}^3$, entonces la longitud de una de sus aristas ( todas iguales ) es $(\ell')^3=27$, por tanto $$\ell'=\sqrt[3]{27}=3\,\text{dm}$$ Por consiguiente, sus caras son cuadrados de $3\,\text{dm}$ de lado, y el área de una de sus caras es $3^2=9\,\text{dm}^2$. Como el desarrollo del cubo consta de $6$ caras cuadradas iguales, el área pedida es $A'=6\cdot 9 = 54 \,\text{dm}^2$
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