Relaciones útiles para calcular el volumen de un tronco de cono y el volumen de un tronco de pirámide

El problema de calcular el volumen de un tronco - pongamos que el de un cono, o el de una pirámide - se resuelve restando el volumen de la parte del cuerpo que truncamos del volumen del cuerpo completo.

TRONCO DE CONO
Así, al calcular el volumen de un tronco de cono, $V_{t.c.}$, conocido el valor del radio de cada una de las dos bases ( el mayor, $r_1$; y el menor, $r_2$ ) y la distancia entre ellas ( que denotamos por $d$ ), hemos deducido en clase tres relaciones que convendría apuntarlas en el formulario de ayuda para los exámenes:
(1) Denotando por $h_1$ la altura del cono completo, y por $h_2$ la del cono que truncamos, se cumple que $h_2+d=h_1$
(2) Cortando el cono por un plano axial, y empleando el Teorema de Tales, hemos visto que $\dfrac{h_1}{h_2}=\dfrac{r_1}{r_2}$
(3) Y, desde luego, $V_{t.c.}=\dfrac{1}{3}\,\pi\,r_{1}^{2}\,h_1-\dfrac{1}{3}\,\pi\,r_{2}^{2}\,h_2$

TRONCO DE PIRÁMIDE DE BASE CUADRADA
Por otra parte, al calcular el volumen de un tronco de pirámide, de base un cuadrado, $V_{t.p.b.c.}$, conocido el valor del lado de cada una de las dos bases ( el mayor, $l_1$; y el menor, $l_2$ ) y la distancia entre ellas ( que denotamos por $d$ ), también hemos deducido en clase tres relaciones que conviene apuntarlas en el formulario de ayuda para los exámenes:
(1) Denotando por $h_1$ la altura de la pirámide completa, y por $h_2$ la de la pirámide que truncamos, se cumple que $h_2+d=h_1$
(2) Cortando el cono por un plano axial que pose por los centros de ambas bases, y empleando el Teorema de Tales, hemos visto que $\dfrac{h_1}{h_2}=\dfrac{l_1}{l_2}$
(3) Y, desde luego, $V_{t.p.b.c.}=\dfrac{1}{3}\,l_{1}^{2}\,h_1-\dfrac{1}{3}\,l_{2}^{2}\,h_2$

[nota del autor]

Impuestos y descuentos. Calculando el valor nominal

ENUNCIAT
Hem comprat un article pel qual hem pagat 42 €. Aquesta quantitat ja porta incorporat l'IVA del 18% i també un descompte del 5% que ens han fet sobre el preu nominal de l'article. Quin és el valor d'aquest preu ?

SOLUCIÓ
Cal deduir l'IVA i deduir el descompte (l'ordre d'aquests dos passos no és rellevant). Calculem, primer, quant hauríem pagat (x) sense l'IVA del 18%; per això, cal plantejar la següent proporció:
$\dfrac{118}{100} = \dfrac{42}{x}$. D'aquí trobem que $x = \dfrac{2100}{59}$. A continuació, i a partir d'aquest resultat parcial, calculem quant ens hauria costat (el que acabem de trobar) si no ens haguessin fet el descompte (y): $\dfrac{95}{100}=\dfrac{\dfrac{2100}{59}}{y}$. I resolent la proporció trobem el preu nominal (sense descompte i sense IVA) de l'article $y \approx 37,47$ €
$\square$

Problemas de movimiento

Enunciat Josep i Marta, que es troben a 10 km l'un de l'altra, caminen en sentits oposats per trobar-se: Josep a una velocitat de 2 km/h, i Marta 3 km/h. Rosa, la filla de Marta, que va en bicicleta a una velocitat de 8 km/h, es dedica a anar de l'una a l'altre, sense parar, amunt i avall. Quina distància haurà recorregut la noia fins el moment que es trobin ? Resolució 1 En 1 h, la distància que recorren entre tots dos és de 5 km; Josep en fa dos vers Marta, i Marta tres vers Josep. Com que per fer una distància conjunta de 5 Km els cal 1 h, per fer 10 km els en calen 2 h. Llavors, després de 2 h de començar a caminar, quan es trobin, Josep haurà recorregut 4 km i Marta 6 km. Durant aquestes dues hores, Rosa no ha parat de moure's amunt i avall amb la seva bicicleta, recorrent 8 km cada hora, per tant durant aquestes dues hores de caminada fins que es troben Josep i Marta, Rosa haurà recorregut 16 km. Resolució 2 Observeu que el raonament basat en considerar la distància conjunta que s'ha recorregut en un hora - la que l'un ha fet en un sentit més la recorreguda en l'oposat per l'altre - no és més que la velocitat relativa: 5 km/h. El problema es resol per tant d'una forma molt simple en termes de velocitat relativa la qual cosa és equivalent a plantejar el problema com si un dels dos estigués posat en el punt de trobada, en repós, i l'altre s'acostés a una velocitat igual a al reltaiva. Per tant, si per fer cinc quilòmetres cal 1 hora, per fer-ne 10 en calen dues, que és el temps que tarda la persona que es mou (en el plantejament de moviment relatiu) a arribar al punt de trobada on l'espera la persona en repós (segons el plantejament equivalent del moviment relatiu). El pas final és el mateix: Rosa haurà recorregut durant aquestes dues hores, 8 k/m . 2 h = 16 km Resolució 3 Si x és la distància al punt de trobada, mesurada des del punt de sortida de Josep, 10 - x és la distància mesurada des del punt de sortida de Marta. Com que s'han de trobar en el temps, x/2 = (10-x)/3, equació de 1r grau que té com a solució x = 4 km (del punt de partida de Josep). Això correspon a un temps de 4/2 = (10-4)/3 = 2 h de caminada fins a trobar-se. Per tant, en aquestes dues hores, Rosa - a 8 km/h - haurà fet 16 km de distància anant de l'un a l'altra sense parar i fins que Josep i Marta es troben.

Clasificación de los sitemas de ecuaciones lineales

Un sistema d'igualtats algèbriques pot ser d'un dels tres tipus següents: SISTEMA COMPATIBLE DETERMINAT. A cada incògnita li correspon un únic valor. Les equacions són independents: cada una aporta una informació diferent a les altres, la qual cosa permet determinar un únic valor per a cada incògnita. Exemple (sistema compatible determinat de dues equacions amb dues incògnites) x+y=1 x-y=2 SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINAT. A cada incògnita li correspon infinits valors com a solució ja que algunes de les equacions són equivalents a d'altres i, per tant, no el conjunt d'equacions no aporta informació suficient per poder determinar valors únics per a cada incògnita. Exemple (sistema compatible indeterminat de dues equacions amb dues incògnites) x+y=1 2x+2y=2 SISTEMA INCOMPATIBLE. No es pot trobar cap solució (no n'hi ha, de fet) perquè les equacions són contradictòries Exemple (sistema incompatible de dues equacions amb dues incògnites) x+y=1 x+y=2

Los diversos tipos de igualdades algebraicas

Una igualtat algèbrica (equació) es pot ser d'un dels tres tipus següents: EQUACIÓ COMPATIBLE DETERMINADA. A cada incògnita li correspon un únic valor. Exemple (amb una sola incògnita): x+1=2 EQUACIÓ COMPATIBLE INDETERMINADA o IDENTITAT. A cada incògnita li correspon infinits valors com a solució degut al fet que els dos membres de la igualtat donen la mateixa informació però expressada de forma diferent, amb la qual cosa no podem determinar un únic valor per a la incònita. Exemple (amb una sola incògnita): 2(x+1) = 2x+2 EQUACIÓ INCOMPATIBLE. No té solució perquè els membres de la igualtat donen informació contradictòria Exemple (amb una sola incògnita): x=x+1

Políedros regulares

PASADO A LOS BLOGS

A l'escrit anterior parlava del teorema d'Euler, vàlid per als poliedres convexos, que són els que no tenen entrades. Tenim un eina valuosa per investigar les relacions dels poliedres: un graf planar que anomenem diagrama d'Schlegel. Tot poliedre convex el podem representar per un graf planar, resultat d'imaginar el poliedre col·lapsat sobre un pla, fent distinció de totes les seves arestes i vèrtexs. Doncs bé, un graf planar compleix que v-a+c=1 (on, ara, v representa un punt on hi van a parar vàries arestes i, per cara, entenem l'espai de pla tancat per dues arestes les quals no cal que les dibuixem pas rectilínies. De fet, si comptem la cara exterior com una cara més, podem expressar-lo talment com el teorema d'Euler, v-a+c=2. La figura mostra els grafs corresponents al tetraedre (v=4, a=6, c=3) i a l'ocatedre (c=8, v=9, a = 16). Observem que, efectivament, es compleix el resultat que comento: 4-6+3=1, i 9-16+8=1), de la mateixa manera que es compleix en tots els grafs planars Tot això té interessants aplicacions, com ara el disseny i anàlisi de circuïts elèctrics, anàlisi de l'estructura molecular.

Los lados de un triángulo rectángulo miden

Enunciat:
Els costats d'un triangle rectangle mesuren $6 \; \text{cm}$, $8 \; \text{cm}$, i $10 \; \text{cm}$. Us demanem:
    a) Un dibuix esquemàtic del triangle, posant les lletres convenients (respecteu el conveni) als vèrtexs, als costats, i als angles
    b) Construïu, amb regle i compàs, el triangle (a escala, si cal)
    c) Calculeu l'àrea del triangle
    d) Calculeu el perímetre del triangle

Resolució:
  a)

$\square$

  b)
Adoneu-vos que es tracta d'un triangle rectangle; per això, tan sols cal que observeu que les longituds dels costats $\{6,8,10\}$ formen una terna pitagòrica, o bé, feu un cop d'ull a la figura que hem dibuixat a l'apartat anterior: l'angle que formen els dos costats més curts és un angle recte.

Llavors, l'àrea serà igual a
$\mathcal{A}=\dfrac{6 \cdot 8}{2}=24 \, \text{cm}^2$

$\square$

  b)
El perímetre (suma de les longituds dels tres costats) és igual a
$\mathcal{P}=24 \, \text{cm}$
$\square$

El $5\%$ de una cierta cantidad de bolas es

Enunciat:
El $5\%$ d'una determinada quantitat de boles és igual a $3$ boles. Quantes boles representen el $90\%$ del total de boles ? [Instrucció: Resoleu el problema sense calcular, prèviament, el nombre total de boles (exercici de destresa algèbrica)].

Solució:

Anomenem:
    $x$, al nombre total de boles
    $y$, al nombre de boles que correspon al $90\%$ de $x$

Plantegem les següents proporcions:

    $\dfrac{5}{100}=\dfrac{3}{x} \quad \quad \quad (1)$


    $\dfrac{90}{100}=\dfrac{y}{x} \quad \quad \quad (2)$

Dividint, membre a membre, la igualtat (2) entre la igualtat (1), s'obté

    $\dfrac{90}{100} \div \dfrac{5}{100}=\dfrac{y}{x}\div \dfrac{3}{x}$

fent les divisions i simplificant, queda

    $\dfrac{90}{5}=\dfrac{y}{3}$

i, d'aquí, s'ha de complir que

    $90 \cdot 3 = 5 \, y$

llavors,

    $y=\dfrac{90 \cdot 3}{5}$

        $=54$   boles

$\square$

Una persona ha ido a comer a un restaurante

Enunciat:
Una persona ha anat a dinar a un restaurant. Li ha costat $9,50 \; \text{euros}$   ( amb un IVA del $10 \,\%$ inclòs sobre el preu del dinar ). Si aquest impost no fos de tipus reduït (del $10\%$, aplicat als restaurants i a l'hostatgeria ), ans fos del tipus habitual per al comerç ( $21\%$ ), quant li hauria costat el dinar ?

Solució:

Anomenem:
    $x$, al preu del dinar ( sense el càrrec de l'impost del $10\%$ )
    $y$, a la quantitat a pagar ( amb el càrrec de l'impost del $21\%$ sobre $x$ )

Plantegem les següents proporcions:

    $\dfrac{100}{100+110}=\dfrac{x}{9,50} \quad \quad \quad (1)$


    $\dfrac{100+21}{100}=\dfrac{y}{x} \quad \quad \quad (2)$

Multiplicant, membre a membre, les igualtats (2) i (1), s'obté

    $\dfrac{121}{100}\cdot \dfrac{100}{110}=\dfrac{y}{x}\cdot \dfrac{x}{9,50}$

expressió que, simplificant $x$, queda

    $\dfrac{121}{110}=\dfrac{y}{9,50}$

i, d'aquí, s'ha de complir que

    $121 \cdot 9,50 = 110 \, y$

llavors,

    $y=9,50 \cdot \dfrac{121}{110}$

        $=10,45 \; \text{euros}$

$\square$

Los vecinos de una comunidad ...

ENUNCIADO:
Los vecinos de una comunidad se han reunido para decidir si contratan o no un determinado servicio. Después de debatir los pros y los contras se ha realizado una votación, y el resultado de la misma ha sido el siguiente: las tres cuartas partes se han manifestado a favor; la mitad de los restantes, en contra; y ocho vecinos se han abstenido. ¿ Cuántos vecinos hay en la comunidad ?.

SOLUCIÓN:
La parte del vecindario que vota o bien sí o bien no es $\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{2}\,\left(1-\dfrac{3}{4}\right)$, que es igual a $\dfrac{7}{8}$; así, pues, la parte del vecindario que se abstiene es igual a $1-\dfrac{7}{8}=\dfrac{1}{8}$; con lo cual, denotando por $x$ el número de vecinos, podemos plantear la siguiente proporción $$\dfrac{1}{8}=\dfrac{8}{x}$$
de donde, despejando la incógnita,
$$x=8 \cdot 8 = 64 \, \text{vecinos}$$
$\square$

Otra demostración del Teorema de Pitágoras

Teorema de Pitàgores:
Com és ben sabut, donat el triangle rectangle de vèrtexs A, B i C, es compleix la següent propietat entre les longituds dels seus costats ( la hipotenusa $b$, i els dos catets $a$ i $c$ )
                                                    $b^2=a^2+c^2$

Una demostració més (en aquest blog n'he exposat ja unes quantes) d'aquest teorema (n'hi ha més d'un centenar) és la següent.

Demostració:
Si repliquem el triangle rectangle tal com es mostra a la figura, és ben fàcil veure que, donada la disposició de les parts, l'àrea del quadrat gran $(a+c)^2$ es pot calcular de dues maneres:
        i) Desenvolupant el binomi al quadrat, podem escriure
          $(a+c)^2 = a^2+2\,a\,c+c^2 \quad \quad (1)$
        ii) Tenint en compte que l'àrea del quadrat gran es descompon en quatre triangles rectangles ( de costats $a$ i $c$ ) i el quadrat del centre de la figura ( de costat $b$ ), podrem expressar la seva àrea com la suma
          $(a+c)^2 = b^2 + 4\cdot \dfrac{a\,c}{2} \quad \quad \quad (2)$
Igualant, ara, els segons membres de (1) i (2)
    $a^2+2\,a\,c+c^2=b^2 + 4\cdot \dfrac{a\,c}{2}$
i simplificant
    $a^2+2\,a\,c+c^2=b^2 + 2 \, a\,c$
    $b^2=a^2+2\,a\,c-2 \, a\,c+c^2$
arribem a la igualtat que volíem demostrar
    $b^2=a^2+c^2$
$\square$

El $5\%$ de una cierta cantidad de bolas

Enunciat:
El $5\%$ d'una determinada quantitat de boles és igual a $3$ boles. Quantes boles representen el $90\%$ del total de boles ?.

Solució:

Anomenem:
    $x$, al nombre total de boles

Calculem, primer de tot, el nombre total de boles plantejant la següent proporció:

    $\dfrac{5}{100}=\dfrac{3}{x}$

d'aquí, s'ha de complir que

    $5\, x = 100 \cdot 3$

llavors, el nombre total de boles és

    $x=\dfrac{100 \cdot 3}{5}$

        $=60$   boles

Calculem, ara, quant representa el $90\%$ d'aquestes $60$ boles (anomenem a $y$ a aquesta quantitat); per això plantegem la proporció,

    $\dfrac{90}{100}=\dfrac{y}{60}$

d'aquí s'ha de complir que

    $90 \cdot 60 =100 \, y$

llavors

    $y=\dfrac{90\cdot 60}{100}$

      $=\dfrac{5400}{100}$

      $=54$ boles

$\square$

Operar con fracciones

ENUNCIADO:
Efectuar las siguientes operaciones con fracciones:
a) $\dfrac{2}{3}-\dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{2}$

b) $\dfrac{4}{9}\cdot \dfrac{3}{2}$

c) $\dfrac{6}{12}\div \dfrac{3}{4}$

d) $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{3}-\dfrac{1}{3}$

SOLUCIÓN:

a)
$\dfrac{2}{3}-\dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{2}=$

    $=\dfrac{4}{6}-\dfrac{5}{6}+\dfrac{3}{6}$ ( reduciendo a común denominador )

    $=\dfrac{4-5+3}{6}$ ( operando los numeradores )

    $=\dfrac{2}{6}$ ( simplificando ...)

    $=\dfrac{1}{3}$

b)

$\dfrac{4}{9}\cdot \dfrac{3}{2}=\dfrac{4 \cdot 3}{9 \cdot 2} = \dfrac{4 \cdot 3}{2 \cdot 9}=\dfrac{2 \cdot 1}{1 \cdot 3}=\dfrac{2}{3}$

c)

$\dfrac{6}{12}\div \dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{2}\div \dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{2}\cdot \text{inv}\left( \dfrac{3}{4}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{4}{3} = \dfrac{1 \cdot 4}{2 \cdot 3}= \dfrac{4 \cdot 1}{2 \cdot 3} = \dfrac{2 \cdot 1}{1 \cdot 3} =\dfrac{2}{3}$

d)

$\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{3}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1 \cdot 4 }{2 \cdot 3} - \dfrac{1}{3}=\dfrac{4 \cdot 1}{2 \cdot 3} - \dfrac{1}{3}=\dfrac{2 \cdot 1}{1 \cdot 3} - \dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}$

$\square$

Construcción de polígonos irregulares con regla y compás

Enunciado:
A partir de cuatro segmentos de longitud dada ( parte superior de la figura ), construir con ellos ( empleando la regla y el compás ) un polígono.

Solución:

$\square$

Cálculo con potencias

Enunciado:
Expresar como una potencia única:
    $4^3\cdot 2^5 \div 8$

Solución:
Teniendo en cuenta que $4=2^2$
y que $8=2^3$, podemos escribir
    $4^3\cdot 2^5 \div 8$
de la forma
      $\big(2^2\big)^3\cdot 2^5 \div 2^3$
      $=2^{2 \cdot 3} \cdot 2^5 \div 2^3$
      $=2^{6} \cdot 2^5 \div 2^3$
      $=2^{6+5-3}$
      $=2^{8}$
$\square$

[nota del autor]

Averiguar si el número $36$ es un n. triangular. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Esbrineu si el nombre natural $36$ és triangular.

Solució:
Si és un n. triangular ha d'existir un nombre $n \in \mathbb{N}$, més petit que $36$, tal que
                $\dfrac{n\,(n+1)}{2}=36$
Cal, per tant, resoldre aquesta equació; si algun dels valors de la solució és un nombre natural més petit que $36$. Vegem-ho:
Podem escriure l'equació de la forma
                $n^2+n-72=0$
que és una equació polinòmica de 2n grau completa. Resolent-la, obtenim dos valors com a solució: $-9$ ( que, en ser un nombre enter negatiu, no ens interessa ) i $8$, que sí satisfà la condició i, per tant, queda demostrat que $36$ és un nombre triangular.
$\square$

Usos de la calculadora científica

Enunciat:
Feu servir la calculadora científica bàsica per determinar el valor del quocient i del residu de la divisió entera $112\,563 \div (-259)$

Solució:
La calculadora científica bàsica no disposa de la funció MOD per calcular el valor del residu; com a recurs, podem efectuar la divisió decimal, obtenint el següent valor $-434,\overline{6061777}$, amb la qual cosa, podem afirmar que, éssent no nul·la la part decimal del quocient (de la divisió decimal), el residu del la divisió entera és diferent de zero. Llavors, si $D$ és el dividend, $d$ el divisor, $q$ el quocient, i $r$ el residu, pel teorema de la visió euclidiana, s'haurà de complir
    $D=d\cdot q+r \quad \text{on} \quad 0 \le r \prec \left|d\right|$

Efectuant la divisió:
      $q=-434$, ja que $-434 \cdot (-259) = 112\,406 \prec 112\,563$
      i, a partir d'aquest resultat, calculem el valor del residu:
      $r=112\,563-112\,406$
        $ = 157$

$\square$