Poliedros no convexos que no cumplen la propiedad de Euler

La propiedad de Euler sobre los poliedros ( $v-a+c=2$, donde $v$ denota el número de vértices; $a$, el número de aristas; y $c$, el número de caras ) es válida para todo poliedro convexo; ahora bien, existen poliedros no convexos que también la cumplen; por ejemplo, un prisma cuya base tenga forma de "L". Por supuesto, los hay ( no convexos ) que no la cumplen, aunque a veces cuesta dar con alguno -- el otro día, en clase, me pasó eso: no daba con ninguno --. Uno de estos poliedros ( ya tengo unos cuántos para mostrar ) es un prisma con un agujero ciego, con el mismo contorno de la base, tal como se muestra en la siguiente figura

Los hay, también, que son muy complicados, como por ejemplo el poliedro de Szászár ( fuente: Wikipedia ). Siguiendo el enlace podréis echarle un vistazo.

Políedros regulares

PASADO A LOS BLOGS

A l'escrit anterior parlava del teorema d'Euler, vàlid per als poliedres convexos, que són els que no tenen entrades. Tenim un eina valuosa per investigar les relacions dels poliedres: un graf planar que anomenem diagrama d'Schlegel. Tot poliedre convex el podem representar per un graf planar, resultat d'imaginar el poliedre col·lapsat sobre un pla, fent distinció de totes les seves arestes i vèrtexs. Doncs bé, un graf planar compleix que v-a+c=1 (on, ara, v representa un punt on hi van a parar vàries arestes i, per cara, entenem l'espai de pla tancat per dues arestes les quals no cal que les dibuixem pas rectilínies. De fet, si comptem la cara exterior com una cara més, podem expressar-lo talment com el teorema d'Euler, v-a+c=2. La figura mostra els grafs corresponents al tetraedre (v=4, a=6, c=3) i a l'ocatedre (c=8, v=9, a = 16). Observem que, efectivament, es compleix el resultat que comento: 4-6+3=1, i 9-16+8=1), de la mateixa manera que es compleix en tots els grafs planars Tot això té interessants aplicacions, com ara el disseny i anàlisi de circuïts elèctrics, anàlisi de l'estructura molecular.