ESO2 - Recordad: La propiedad de Euler, v-a+c=2, sólo se cumple en los poliedros convexos

Supongamos que se cumpla en un poliedro cóncavo. Aquí tenéis algunos contraejemplos:

(1) Un cubo en el que se ha practicado un agujero cúbico ciego desde una de sus caras

(2) Un cubo en el que se le ha practicado un agujero desde una de sus caras, traspasando hasta la cara opuesta:

Ejercicio 2 de la semana del 16 de marzo al 22 de marzo de 2020

Ejercicio 3 de la página 193 del libro base

ENUNCIADO. Un poliedro convexo tiene seis caras y ocho vértices. ¿ Cuántas aristas tiene ?

SOLUCIÓN. Según la propiedad de Euler, v-a+c=2, donde v indica el número de vértices; a, el número de aristas, y c el número de caras. Entonces, 8-a+6=2, luego a=8+6-2=12

Poliedros no convexos que no cumplen la propiedad de Euler

La propiedad de Euler sobre los poliedros ( $v-a+c=2$, donde $v$ denota el número de vértices; $a$, el número de aristas; y $c$, el número de caras ) es válida para todo poliedro convexo; ahora bien, existen poliedros no convexos que también la cumplen; por ejemplo, un prisma cuya base tenga forma de "L". Por supuesto, los hay ( no convexos ) que no la cumplen, aunque a veces cuesta dar con alguno -- el otro día, en clase, me pasó eso: no daba con ninguno --. Uno de estos poliedros ( ya tengo unos cuántos para mostrar ) es un prisma con un agujero ciego, con el mismo contorno de la base, tal como se muestra en la siguiente figura

Los hay, también, que son muy complicados, como por ejemplo el poliedro de Szászár ( fuente: Wikipedia ). Siguiendo el enlace podréis echarle un vistazo.