Calcular la potencia de $3$ que resulta de la siguiente operación: $3^{6}\cdot 3^{1} \div 3^{5}$

Enunciado:
Calcular la potencia de $3$ que resulta de la siguiente operación:
$$3^{6}\cdot 3^{1} \div 3^{5}$$

Resolución:
$3^{6}\cdot 3^{1} \div 3^{5} = $

  $=3^{6+1} \div 3^{5}$

    $=3^{6+1-5}$

      $=3^{7-5}$

        $=3^{2}$

$\blacksquare$

[nota del autor]

Calcular la fracción resultante: $\dfrac{7}{3}\div \dfrac{14}{9}$

Enunciado:
Calcular la fracción resultante: $$\dfrac{7}{3}\div \dfrac{14}{9}$$

Resolución:
$\dfrac{7}{3}\div \dfrac{14}{9} = $

  $=\dfrac{7}{3}\cdot \text{inverso}\big( \dfrac{14}{9} \big)$

    $=\dfrac{7}{3}\cdot \dfrac{9}{14}$

      $=\dfrac{7 \cdot 9}{3 \cdot 14}$

        $=\dfrac{9 \cdot 7}{3 \cdot 14}$

          $=\dfrac{9}{3}\cdot \dfrac{7}{14}$

            $=3\cdot \dfrac{1}{2}$

              $=\dfrac{3\cdot 1}{2}$

                $=\dfrac{3}{2}$

$\blacksquare$

[nota del autor]

La suma de dos números naturales es $15$ y al dividir el mayor entre el menor se obtiene cociente igual a $1$ y resto igual a $1$. ¿De qué números estamos hablando?

Enunciado:
La suma de dos números naturales es $15$ y al dividir el mayor entre el menor se obtiene cociente igual a $1$ y resto igual a $1$. ¿De qué números estamos hablando?

Resolución:
Sean $x$ e $y$ ( $x \succ y$ ) los números naturales pedidos, entonces:

$\left.\begin{matrix}
x+y=15 \\
x=1\cdot y+1 \\
\end{matrix}\right\}$

donde la segunda ecuación viene del Teorema de la División Entera: el dividendo ( que es $x$ ) es igual al divisor (que es $y$), por el cociente ( que es $1$ ), más el resto ( que es $1$ )

esto es

$\left.\begin{matrix}
x+y=15 \\
x=y+1 \\
\end{matrix}\right\}$

sustituyendo la expresión del segundo miembro de la segunda ecuación ( que representa la incógnita $x$ ) en el lugar de $x$ de la primera ecuación, obtenemos:

$$(y+1)+y=15$$

de aquí

$(y+1)+y=15$

  $y+y+1=15$

    $2\,y+1=15$

    $2\,y+1-1=15-1$

      $2\,y+0=14$

      $2\,y=14$

        $\dfrac{1}{2}\cdot 2\,y=\dfrac{1}{2}\cdot 14$

        $\dfrac{1\cdot 2}{2}\,y=\dfrac{1 \cdot 14}{2}$

          $\dfrac{2}{2}\,y=\dfrac{14}{2}$

            $1\cdot y=7$

              $y=7$

$\blacksquare$

[nota del autor]

Calcular la fracción resultante: $\dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{3}{5}$

Enunciado:
Calcular la fracción resultante: $$\dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{3}{5}$$

Resolución:
$\dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{3}{5} =$

  $=\dfrac{2 \cdot 3}{5 \cdot 5}$

    $=\dfrac{6}{25}$

$\blacksquare$

[nota del autor]

Resolver la ecuación $x^2+3\,x+2=0$

Enunciado:
Resolver la ecuación
$$x^2+3\,x+2=0$$

Resolución:
La ecuación pedida es una e. de segundo grado. Hemos estudiado en clase cómo resolverla; recordemos que dada la ecuación general de segundo grado completa, $$a\,x^2+b\,x+c=0$$
entonces los valores de $x$ que cumplen dicha igualdad son los que vienen dados por $$x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4\,a\,c}}{2\,a}$$
Comparando la ecuación genérica con la ecuación pedida, vemos que: $a=1$, $b=3$, y $c=2$. Sustituyendo estos valores en la expresión que nos dá los valores de $x$ que cumplen la igualdad pedida, llegamos a
$x=\dfrac{-3 \pm \sqrt{3^2-4\cdot 1\cdot 2}}{2\cdot 1}=\dfrac{-3 \pm \sqrt{9-8}}{2}=\dfrac{-3 \pm \sqrt{1}}{2}=\dfrac{-3 \pm 1}{2}$
y de aquí obtenemos el siguiente par de valores como solución
$x = \left\{ \begin{matrix}-1 \\ \\-2\\ \end{matrix} \right.$
$\blacksquare$

[nota del autor]

Sabemos que el perímetro de un rectángulo es ...

Enunciado:
Sabemos que el perímetro de un rectángulo es $12\,\text{m}$ y que el largo menos el ancho es igual a $2\,\text{m}$. ¿Cuáles son las dimensiones del mismo? ¿Cuál es el área de dicho rectángulo?

Resolución:

Denotemos por $x$ e $y$ el ancho y el largo, respectivamente. Entonces,
$\left.\begin{matrix}
2\,x &+&2\,y&=&12 \\
x &+&2&=&y \\
\end{matrix}\right\}$

sistema de ecuaciones que es equivalente a

$\left.\begin{matrix}
x &+&y&=&6 \\
x &+&2&=&y \\
\end{matrix}\right\}$

sustituyendo la expresión de $y$ del primer miembro de la segunda ecuación en la primera:
$x+(x+2)=6$

  $x+x+2=6$

  $2\,x+2=6$

    $2\,x+2-2=6-2$

      $2\,x+0=4$

      $2\,x=4$

      $\dfrac{1}{2}\cdot 2\,x=\dfrac{1}{2}\cdot 4$

      $\dfrac{1\cdot 2}{2}\,x=\dfrac{1 \cdot 4}{2}$

        $\dfrac{2}{2}\,x=\dfrac{4}{2}$

          $1\,x=2$

            $x=2$

Encontramos, pues, que el ancho es igual a $2\,\text{m}$. Sustituyendo, ahora, este resultado en la expresión de $y$, que es $y=x+2$, obtenemos el valor del largo: $y=2+2=4 \, \text{m}$

$\blacksquare$

[nota del autor]

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: $\left.\begin{matrix} x &+&y&=&1 \\ -x &+&\,y&=&1 \\ \end{matrix}\right\}$

Enunciado:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
$$\left.\begin{matrix}
x &+&y&=&1 \\
-x &+&\,y&=&1 \\
\end{matrix}\right\}$$

Resolución:
$\left.\begin{matrix}
x &+&y&=&1 \\
-x &+&\,y&=&1 \\
\end{matrix}\right\}$

Sumando la primera y la segunda ecuación ( miembro a miembro ) y sustituyendo la segunda por la ecuación resultante ( que es equivalente a las dos eauciones originales ), obtenemos el siguiente sistema equivalente al original:

  $\left.\begin{matrix}
x &+&y&=&1 \\
&&2\,y&=&2 \\
\end{matrix}\right\}$

esto es

  $\left.\begin{matrix}
x &+&y&=&1 \\
&&y&=&1 \\
\end{matrix}\right\}$

con lo cual, de la segunda ecuación obtenemos el valor de $y$, que es $1$. Sustituyendo, ahora, este valor den la primera ecuación: $x+1=1$, es decir, $x+1-1=1-1$ y, por tanto, $x+0=0$, luego $x=0$.

$\blacksquare$

[nota del autor]

Calcular la fracción resultante: $\dfrac{3}{4}+\dfrac{5}{12}-\dfrac{7}{6}$

Enunciado:
Calcular la fracción resultante: $$\dfrac{3}{4}+\dfrac{5}{12}-\dfrac{7}{6}$$

Resolución:
Para sumar las fracciones, las reduciremos primero a común denominador; para ello, tomaremos el mínimo común múltiplo de los tres denominadores ( también podríamos multiplicar por cualquier otro múltiplo común ), que es igual a $\text{m.c.m}(4,12,6)=12$, y ajustaremos el numerador para encontrar así las fracciones equivalentes:

$\dfrac{x}{12}=\dfrac{3}{4}$, luego $x=12 \cdot \dfrac{3}{4}=\dfrac{12 \cdot 3}{4} = \dfrac{12}{4}\cdot 3 = 3 \cdot 3 = 9$, y, por tanto, $$\dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{12}$$

La fracción del segundo sumando, $\dfrac{5}{12}$ ya tiene como denominador el denominador común, así que no hay que hacer nada con ésta

y en cuanto a la fracción del tercer sumando, llamando $y$ al numerador de su fracción equivalente
$\dfrac{y}{12}=\dfrac{7}{6}$, luego $x=12 \cdot \dfrac{7}{6}=\dfrac{12 \cdot 7}{6} = \dfrac{12}{6}\cdot 7 = 2 \cdot 7 = 14$, y, por tanto, $$\dfrac{7}{6}=\dfrac{14}{12}$$

Hecho ésto, podemos escribir la operación pedida de la forma
$\dfrac{3}{4}+\dfrac{5}{12}-\dfrac{7}{6}=\dfrac{9}{12}+\dfrac{5}{12}-\dfrac{14}{12}=\dfrac{9+5-14}{12}=\dfrac{14-14}{12}=\dfrac{0}{12} = 0$

$\blacksquare$

[nota del autor]

¿ Cuál es el valor que debe tener $x$ para que las fracciones $\dfrac{2}{5}$ y $\dfrac{4}{x}$ sean equivalentes ?.

Enunciado:
¿ Cuál es el valor que debe tener $x$ para que las fracciones $\dfrac{2}{5}$ y $\dfrac{4}{x}$ sean equivalentes ?.

Resolución:
$\dfrac{2}{5}$ y $\dfrac{4}{x}$ son equivalentes si y sólo si $\dfrac{2}{5}=\dfrac{4}{x}$, si y sólo si $2\,x=5\cdot 4$. Resolvamos, pues, esta ecuación:
$2\,x=5\cdot 4$

  $2\,x=4\cdot 5$

  $\dfrac{1}{2}\cdot 2\,x=\dfrac{1}{2}\cdot 4\cdot 5$

    $\dfrac{1 \cdot 2}{2}\,x=\dfrac{1 \cdot 4}{2} \cdot 5$

    $\dfrac{2}{2}\,x=\dfrac{4}{2} \cdot 5$

      $1\cdot x=2 \cdot 5$

        $x=10$

$\blacksquare$

[nota del autor]

Resolver la ecuación $x-1=3+2\,x$

Enunciado:
Resolver la ecuación $$x-1=3+2\,x$$

Resolución:
$x-1=3+2\,x$

  $x-1+1=3+2\,x+1$

    $x+0=3+2\,x+1$

      $x=2\,x+3+1$

        $x=2\,x+4$

          $-2\,x+x=-2\,x+2\,x+4$

          $-x=0+4$

          $-x=4$

            $x=-4$

$\blacksquare$

[nota del autor]