Resolver la ecuación de segundo grado ...

ENUNCIADO. Resolver la siguientes ecuación de segundo grado $$x^2+2\,x-3=0$$

SOLUCIÓN.

Resolver las ecuaciones de segundo grado

ENUNCIADO. Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado:
a) $x^2+4\,x-5=0$
b) $(x+1)(x-2)=0$

SOLUCIÓN.
a)
$x^2+4\,x-5=0$
  $1\cdot x^2+4\,x+(-5)=0$. Por tanto, en $ax^2+bx+c=0$, los valores de los coeficientes son $a=1$; $b=4$ y $c=-5$. Así, $$x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\dfrac{-4\pm \sqrt{4^2-4\cdot 1\cdot (-5)}}{2\cdot 1}=\dfrac{-4\pm \sqrt{36}}{2}=\dfrac{-4\pm 6}{2}$$
luego $x=\left\{\begin{matrix}\dfrac{-4+6}{2}=\dfrac{2}{2}=1\\\text{ó}\\\dfrac{-4-6}{2}=\dfrac{-10}{2}=-5\end{matrix}\right.$
Resumiendo, la solución de la ecuación pedida viene dada por el conjunto de números $\{-5\,,\,1\}$

b)
$(x+1)(x-2)=0$
Esta igualdad a $0$ sólo es posible si $x+1=0$, y, por tanto, si $x=-1$; o bien, si $x-2=0$, y, por tanto, si $x=2$. En conclusión, la solución de la ecuación pedida viene dada por el conjunto de números $\{-1\,,\,2\}$
$\square$

Resolución de una ecuación de segundo grado completa, transformándola convenientemente

Enunciat:
Resoleu l'equació $x^2+x-1=0$ sense fer ús de l'expressió general de la solució d'una equació de 2n grau completa.

Solució:
Fent ús de la identitat notable $(m+n)^2=m^2+2\,m\,n+n^2$, podem escriure el primer membre de la següent forma
  $\bigg(x+\dfrac{1}{2}\bigg)^2-\bigg(\dfrac{1}{2}\bigg)^2-1$
que, simplificat, queda
  $\bigg(x+\dfrac{1}{2}\bigg)^2-\dfrac{5}{4}$
per tant l'equació original, escrita d'una manera més convenient per poder trobar la solució, és equivalent a la següent
  $\bigg(x+\dfrac{1}{2}\bigg)^2-\dfrac{5}{4}=0$
llavors
  $\bigg(x+\dfrac{1}{2}\bigg)^2=\dfrac{5}{4}$
i extraient l'arrel quadrada a cada membre de la igualtat per desfer la potència al quadrat del primer membre obtenim
  $\pm \left(x+\dfrac{1}{2}\right)=\sqrt{\dfrac{5}{4}}$
  $ x+\dfrac{1}{2}=\pm\,\sqrt{\dfrac{5}{4}}$
per tant,
  $x=-\dfrac{1}{2}\pm \dfrac{\sqrt{5}}{2}$
        $=\dfrac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$
és a dir
$x=\left\{\begin{matrix}\dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2}\\\vee\\\dfrac{-1 -\sqrt{5}}{2} \\ \end{matrix}\right.$
$\square$

Resuelva las siguientes ecuaciones

Enunciado:
Resuelva las siguientes ecuaciones:

  a) $x-1=3\,(1-x)$

  b) $x^2+2\,x+1=0$

  c) $\left\{\begin{matrix}
x & + & y &=1\\
x & - & y &=1\\
\end{matrix}\right.$
  d) $\dfrac{1}{2}-\dfrac{x}{3}=\dfrac{x}{6}$

Solución:

$\square$

Resolver la ecuación $x^2+3\,x+2=0$

Enunciado:
Resolver la ecuación
$$x^2+3\,x+2=0$$

Resolución:
La ecuación pedida es una e. de segundo grado. Hemos estudiado en clase cómo resolverla; recordemos que dada la ecuación general de segundo grado completa, $$a\,x^2+b\,x+c=0$$
entonces los valores de $x$ que cumplen dicha igualdad son los que vienen dados por $$x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4\,a\,c}}{2\,a}$$
Comparando la ecuación genérica con la ecuación pedida, vemos que: $a=1$, $b=3$, y $c=2$. Sustituyendo estos valores en la expresión que nos dá los valores de $x$ que cumplen la igualdad pedida, llegamos a
$x=\dfrac{-3 \pm \sqrt{3^2-4\cdot 1\cdot 2}}{2\cdot 1}=\dfrac{-3 \pm \sqrt{9-8}}{2}=\dfrac{-3 \pm \sqrt{1}}{2}=\dfrac{-3 \pm 1}{2}$
y de aquí obtenemos el siguiente par de valores como solución
$x = \left\{ \begin{matrix}-1 \\ \\-2\\ \end{matrix} \right.$
$\blacksquare$

[nota del autor]

Ejercicios resueltos de los temas 5 y 6 de Matemáticas de 2.º de la ESO ( tercer examen del primer trimestre )

Ejercicios resueltos del examen de los temas 5 y 6.

[nota del autor]