La suma de dos números naturales es ...

Enunciat:
La suma de dos nombres naturals és igual a $106$ i en dividir el més gran entre el més petit obtenim $2$ de quocient i $10$ de residu. Trobeu aquests nombres.

Resolució:
Considerant que $x > y$; de l'enunciat, podem plantejar el sistema d'equacions

$\left.\begin{matrix} x+y = 106 \\ x = 2y+10\\ \end{matrix}\right\}$

on la segona equació es refereix a la propietat fonamental de la divisió

dividend = divisor · quaciente + residu

Substituint l'expressió de $x$ de la segona equació en la primera trobem una equació amb una sola variable
$2y+10+y=106$
que equival a
$3y=96$
d'on trobem que
$y=32$

i, per tant, el valor de $x$ ha de ser igual (primera equació) a
$x=110-32$
és a dir
$x=78$

$\square$

Resuelva las siguientes ecuaciones

Enunciado:
Resuelva las siguientes ecuaciones:

  a) $x-1=3\,(1-x)$

  b) $x^2+2\,x+1=0$

  c) $\left\{\begin{matrix}
x & + & y &=1\\
x & - & y &=1\\
\end{matrix}\right.$
  d) $\dfrac{1}{2}-\dfrac{x}{3}=\dfrac{x}{6}$

Solución:

$\square$

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: $\left.\begin{matrix} x &+&y&=&1 \\ -x &+&\,y&=&1 \\ \end{matrix}\right\}$

Enunciado:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
$$\left.\begin{matrix}
x &+&y&=&1 \\
-x &+&\,y&=&1 \\
\end{matrix}\right\}$$

Resolución:
$\left.\begin{matrix}
x &+&y&=&1 \\
-x &+&\,y&=&1 \\
\end{matrix}\right\}$

Sumando la primera y la segunda ecuación ( miembro a miembro ) y sustituyendo la segunda por la ecuación resultante ( que es equivalente a las dos eauciones originales ), obtenemos el siguiente sistema equivalente al original:

  $\left.\begin{matrix}
x &+&y&=&1 \\
&&2\,y&=&2 \\
\end{matrix}\right\}$

esto es

  $\left.\begin{matrix}
x &+&y&=&1 \\
&&y&=&1 \\
\end{matrix}\right\}$

con lo cual, de la segunda ecuación obtenemos el valor de $y$, que es $1$. Sustituyendo, ahora, este valor den la primera ecuación: $x+1=1$, es decir, $x+1-1=1-1$ y, por tanto, $x+0=0$, luego $x=0$.

$\blacksquare$

[nota del autor]