Enunciado:
Sabemos que el perímetro de un rectángulo es $12\,\text{m}$ y que el largo menos el ancho es igual a $2\,\text{m}$. ¿Cuáles son las dimensiones del mismo? ¿Cuál es el área de dicho rectángulo?
Resolución:
Denotemos por $x$ e $y$ el ancho y el largo, respectivamente. Entonces,
$\left.\begin{matrix}
2\,x &+&2\,y&=&12 \\
x &+&2&=&y \\
\end{matrix}\right\}$
sistema de ecuaciones que es equivalente a
$\left.\begin{matrix}
x &+&y&=&6 \\
x &+&2&=&y \\
\end{matrix}\right\}$
sustituyendo la expresión de $y$ del primer miembro de la segunda ecuación en la primera:
$x+(x+2)=6$
$x+x+2=6$
$2\,x+2=6$
$2\,x+2-2=6-2$
$2\,x+0=4$
$2\,x=4$
$\dfrac{1}{2}\cdot 2\,x=\dfrac{1}{2}\cdot 4$
$\dfrac{1\cdot 2}{2}\,x=\dfrac{1 \cdot 4}{2}$
$\dfrac{2}{2}\,x=\dfrac{4}{2}$
$1\,x=2$
$x=2$
Encontramos, pues, que el ancho es igual a $2\,\text{m}$. Sustituyendo, ahora, este resultado en la expresión de $y$, que es $y=x+2$, obtenemos el valor del largo: $y=2+2=4 \, \text{m}$
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sábado, 22 de febrero de 2014
Sabemos que el perímetro de un rectángulo es ...
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: $\left.\begin{matrix} x &+&y&=&1 \\ -x &+&\,y&=&1 \\ \end{matrix}\right\}$
Enunciado:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
$$\left.\begin{matrix}
x &+&y&=&1 \\
-x &+&\,y&=&1 \\
\end{matrix}\right\}$$
Resolución:
$\left.\begin{matrix}
x &+&y&=&1 \\
-x &+&\,y&=&1 \\
\end{matrix}\right\}$
Sumando la primera y la segunda ecuación ( miembro a miembro ) y sustituyendo la segunda por la ecuación resultante ( que es equivalente a las dos eauciones originales ), obtenemos el siguiente sistema equivalente al original:
$\left.\begin{matrix}
x &+&y&=&1 \\
&&2\,y&=&2 \\
\end{matrix}\right\}$
esto es
$\left.\begin{matrix}
x &+&y&=&1 \\
&&y&=&1 \\
\end{matrix}\right\}$
con lo cual, de la segunda ecuación obtenemos el valor de $y$, que es $1$. Sustituyendo, ahora, este valor den la primera ecuación: $x+1=1$, es decir, $x+1-1=1-1$ y, por tanto, $x+0=0$, luego $x=0$.
$\blacksquare$