En unas rebajas, se aplica un descuento del $2\,\%$ sobre el precio original de un cierto artículo. Aprovechando la oferta, lo hemos comprado y nos ha costado $15$ euros. ¿Cuánto nos hubiese costado antes de las rebajas?
Solución:
$\square$
martes, 17 de junio de 2014
En unas rebajas, se aplica un descuento del $2\,\%$ sobre el precio original de un cierto artículo. Aprovechando la oferta, lo hemos comprado y nos ha costado $15$ euros. ¿Cuánto nos hubiese costado antes de las rebajas ?
Enunciado:
En unas rebajas, se aplica un descuento del $2\,\%$ sobre el precio original de un cierto artículo. Aprovechando la oferta, lo hemos comprado y nos ha costado $15$ euros. ¿Cuánto nos hubiese costado antes de las rebajas?
Solución:
$\square$
En unas rebajas, se aplica un descuento del $2\,\%$ sobre el precio original de un cierto artículo. Aprovechando la oferta, lo hemos comprado y nos ha costado $15$ euros. ¿Cuánto nos hubiese costado antes de las rebajas?
Solución:
$\square$
Las medidas de dos ángulos son $\measuredangle A=20º\; 30'\; 40''$ y $\measuredangle B=5º\; 50'\; 45''$. Calcule: a) $\measuredangle A+\measuredangle B$ b) $\measuredangle A-\measuredangle B$ c) $3\,(\measuredangle B)$ d) \dfrac{1}{3}\,(\measuredangle B)$
Enunciado:
Las medidas de dos ángulos son $\measuredangle A=20º\; 30'\; 40''$ y $\measuredangle B=5º\; 50'\; 45''$. Calcule:
a) $\measuredangle A+\measuredangle B$
b) $\measuredangle A-\measuredangle B$
c) $3\,(\measuredangle B)$
d) \dfrac{1}{3}\,(\measuredangle B)$
Soluciones:
a)
$\measuredangle A+\measuredangle B=26º \;21'\; 25''$
Operaciones:
b)
$\measuredangle A-\measuredangle B=14º \;39'\; 55''$
Operaciones:
c)
$3\,(\measuredangle B)=17º \; 32'\;15''$
Operaciones:
d)
$\dfrac{1}{3}\,(\measuredangle B)=1º \; 56' \; 55''$
Operaciones:
$\square$
Las medidas de dos ángulos son $\measuredangle A=20º\; 30'\; 40''$ y $\measuredangle B=5º\; 50'\; 45''$. Calcule:
a) $\measuredangle A+\measuredangle B$
b) $\measuredangle A-\measuredangle B$
c) $3\,(\measuredangle B)$
d) \dfrac{1}{3}\,(\measuredangle B)$
Soluciones:
a)
$\measuredangle A+\measuredangle B=26º \;21'\; 25''$
Operaciones:
b)
$\measuredangle A-\measuredangle B=14º \;39'\; 55''$
Operaciones:
c)
$3\,(\measuredangle B)=17º \; 32'\;15''$
Operaciones:
d)
$\dfrac{1}{3}\,(\measuredangle B)=1º \; 56' \; 55''$
Operaciones:
$\square$
Los valores de una variable estadística $X$ son los siguientes: $$\{1,2,3,2,4,1,2,3,2,3,4,3,3,5,4\}$$ a) Haga el recuento en una tabla de frecuencias y dibuje el diagrama de barras b) ¿Cuál es el valor de la moda? Razónese c) ¿Cuál es el valor de la mediana? Razónese d) Calcule la media aritmética e) Calcule el tanto por ciento de valores que son menores que $3$
Los valores de una variable estadística $X$ son los siguientes:
$$\{1,2,3,2,4,1,2,3,2,3,4,3,3,5,4\}$$
a) Haga el recuento en una tabla de frecuencias y dibuje el diagrama de barras
b) ¿ Cuál es el valor de la moda ? Razónese
c) ¿ Cuál es el valor de la mediana ? Razónese
d) Calcule la media aritmética
e) Calcule el tanto por ciento de valores que son menores que $3$
Solución:
$\square$
$$\{1,2,3,2,4,1,2,3,2,3,4,3,3,5,4\}$$
a) Haga el recuento en una tabla de frecuencias y dibuje el diagrama de barras
b) ¿ Cuál es el valor de la moda ? Razónese
c) ¿ Cuál es el valor de la mediana ? Razónese
d) Calcule la media aritmética
e) Calcule el tanto por ciento de valores que son menores que $3$
Solución:
$\square$
Considere un triángulo isósceles $\triangle{\{A,B,C\}}$, tal que $AB=BC=5\,\text{cm}$ y $AC=6\,\text{cm}$. Se pide ...
Enunciado:
Considere un triángulo isósceles $\triangle{\{A,B,C\}}$, tal que $AB=BC=5\,\text{cm}$ y $AC=6\,\text{cm}$. Se pide:
a) Dibuje la figura y anote en ella los datos del enunciado
b) Calcule el perímetro
c) Calcule el área
Solución:
Considere un triángulo isósceles $\triangle{\{A,B,C\}}$, tal que $AB=BC=5\,\text{cm}$ y $AC=6\,\text{cm}$. Se pide:
a) Dibuje la figura y anote en ella los datos del enunciado
b) Calcule el perímetro
c) Calcule el área
Solución:
Resuelva las siguientes ecuaciones
Enunciado:
Resuelva las siguientes ecuaciones:
a) $x-1=3\,(1-x)$
b) $x^2+2\,x+1=0$
c) $\left\{\begin{matrix}
x & + & y &=1\\
x & - & y &=1\\
\end{matrix}\right.$
d) $\dfrac{1}{2}-\dfrac{x}{3}=\dfrac{x}{6}$
Solución:
$\square$
Resuelva las siguientes ecuaciones:
a) $x-1=3\,(1-x)$
b) $x^2+2\,x+1=0$
c) $\left\{\begin{matrix}
x & + & y &=1\\
x & - & y &=1\\
\end{matrix}\right.$
d) $\dfrac{1}{2}-\dfrac{x}{3}=\dfrac{x}{6}$
Solución:
Operaciones combinadas ...
Enunciado:
1. Calcule el número entero resultante:
a) $4\cdot ( 2 \cdot 3 -1)^2$
2. Calcule y exprese el resultado en forma de fracción ( simplificada ):
b) $\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{5}{8}$
c) $\dfrac{7}{2}\cdot \dfrac{4}{21}$
d) $\dfrac{9}{2}\div \dfrac{3}{8}$
Solución:
$\square$
1. Calcule el número entero resultante:
a) $4\cdot ( 2 \cdot 3 -1)^2$
2. Calcule y exprese el resultado en forma de fracción ( simplificada ):
b) $\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{5}{8}$
c) $\dfrac{7}{2}\cdot \dfrac{4}{21}$
d) $\dfrac{9}{2}\div \dfrac{3}{8}$
Solución:
$\square$
sábado, 14 de junio de 2014
viernes, 13 de junio de 2014
Cálculo del área de un polígono con la ayuda de una cuadrícula
Queremos calcular el área del polígono cóncavo representado en la figura (pintado de color rosa e indicado con el número 4).
Obsérvese que Área del marco rectangular$=A_1+A_2+A_3+A_4$
Es fácil calcular las siguientes áreas ( en número de cuadrados de la cuadrícula ):
Área del marco rectangular $=5\cdot 3$= 15 cuadrados
$A_1=\dfrac{5\cdot 1}{2}=2,5$ cuadrados
$A_2=\dfrac{3 \cdot 1}{2} = 1,5$ cuadrados
$A_3=\dfrac{4 \cdot 3}{2} = 6$ cuadrados
Finalmente, tan sólo queda un paso para encontrar el área del polígono convexo, $A_4$:
$A_4=$Área del marco rectangular $-(A_1+A_2+A_3)=15-(2,5+1,5+6)=5$ cuadrados.
$\square$
Obsérvese que Área del marco rectangular$=A_1+A_2+A_3+A_4$
Es fácil calcular las siguientes áreas ( en número de cuadrados de la cuadrícula ):
Área del marco rectangular $=5\cdot 3$= 15 cuadrados
$A_1=\dfrac{5\cdot 1}{2}=2,5$ cuadrados
$A_2=\dfrac{3 \cdot 1}{2} = 1,5$ cuadrados
$A_3=\dfrac{4 \cdot 3}{2} = 6$ cuadrados
Finalmente, tan sólo queda un paso para encontrar el área del polígono convexo, $A_4$:
$A_4=$Área del marco rectangular $-(A_1+A_2+A_3)=15-(2,5+1,5+6)=5$ cuadrados.
$\square$
Representación de poliedros
En el escrito anterior hablaba del teorema de Euler, válido para los poliedros convexos, que son los que no tienen entradas. Tenemos un herramienta valiosa para investigar las relaciones de los poliedros: un grafo planar que llamamos diagrama de Schlegel. Todo poliedro convexo podemos representar por un grafo planar, resultado de imaginar el poliedro proyectado sobre un plano, haciendo distinción de todas sus aristas y vértices. Pues bien, un grafo planar cumple que v-a + c = 1 (donde, ahora, v representa un punto donde van a parar varias aristas y, por cara, entendemos el espacio de plano cerrado por dos aristas las que no hay que las dibujamos paso rectilíneas. De hecho, si contamos la cara exterior como una cara más, podemos expresarlo tal como el teorema de Euler, v-a + c = 2. La figura muestra los grafos correspondientes al tetraedro (v = 4, a = 6, c = 3) y al ocatedre (c = 8, v = 9, a = 16). Observamos que, efectivamente, se cumple el resultado que comento: 4-6 +3 = 1, y 9 -16 +8 = 1), de la misma manera que se cumple en todos los grafos planares. Todo esto tiene interesantes aplicaciones, como el diseño y análisis de circuitos eléctricos, análisis de la estructura molecular.
Recuento del número de vértices, aristas y caras de un dodecaedro, de un icosaedro y de un icosaedro truncado
DODECAEDRO
Pongamos que queramos hacer el recuento del número de vértices de un dodecaedro. Sabemos que tiene 12 caras pentagonales. Razonamos de la siguiente manera, haciendo uso del principio de multiplicación, como cada cara pentagonal tiene 5 vértices, partimos, de entrada de 5x12 = 60 vértices; de estos, hay que se cuentan más de una vez: cada vértices del dodecaedro es compartido por 3 caras pentagonales, por tanto, en realidad hay 60 div 3 = 20 vértices.
Si queremos contar el número de aristas haremos algo similar: cada pentágono tiene 5 aristas, por tanto, partimos de 12 x 5 = 60 aristas; pero, de estas hay que están contadas más de una vez, como cada arista está compartida por dos caras del poliedro, en realidad hay 60 div 2 =30 aristas.
Obsérvese que, como en todo poliedro convexo, se cumple el teorema de Euler: el número de vértices menos el número de aristas más el número de caras es igual a 2 (v-a + c = 2). Veamos que es así: 20-30 +12 = 2
ICOSAEDRO
Pongamos que queramos hacer el recuento del número de vértices de un icosaedro. Sabemos que tiene 20 caras triangulares. Como antes, razonamos de la siguiente manera, haciendo uso del principio de multiplicación, como cada cara triangular tiene 3 vértices, partimos, de entrada de 3x20 = 60 vértices; de estos, hay que se cuentan más de una vez: cada vértice del icosaedro es compartido por 5 caras pentagonales, por tanto, un icosaedro tiene 60 div 5 = 12 vértices.
Si queremos contar el número de aristas haremos algo similar: cada triángulo tiene 5 aristas, por tanto, partimos de 20 x 3 = 60 aristas; pero, de estas hay que están contadas más de una vez: como cada una de estas aristas está compartida por dos caras del poliedro, en realidad hay 60 div 2 = 30 aristas.
Obsérvese que, como en todo poliedro convexo, se cumple el teorema de Euler: el número de vértices menos el número de aristas más el número de caras es igual a 2 (v-a + c = 2). Vamos a comprobarlo: 12-30 +20 = 2
ICOSAEDRO TRUNCADO
Podemos obtener este poliedro -- algunos balones de fútbol con piezas de cuero cosidas se construyen así -- truncando un icosaedro regular tal como indica la figura de abajo.
Acabamos de ver que el número de vértices de un icosaedro es igual a 12. Cuando el descabezado convertimos cada uno de estos vértices en cinco; por tanto, un icosaedro truncado tiene 12x5 = 60 vértices.
En cuanto al número de caras, observamos atentamente la figura de la izquierda que muestra el número de elementos que aparecen cuando el descabezado: encontramos que cada una de las 12 vértices del icosaedro, al ser descabezado, da una cara pentagonal y, en cada una de las 20 caras del icosaedro, acaba quedando un hexágono, por tanto, tendremos 12 +20 = 32 caras para el icosaedro truncado.
Fijémonos ahora con el número de aristas: aparecen cinco aristas para cada vértice del icosaedro (color verde), que hacen un total de 12x5 = 60 aristas de color verde; además, hay que tener en cuenta las tres 3 aristas por cada cara hexagonal (de color rosa), pero como cada una de estas es compartida por dos caras, hay que considerar 20x3 / 2 = 30 aristas de color rosa. El total de aristas del icosaedro truncado es pues de 60 +30 = 90.
Como un icosaedro truncado es un poliedro convexo, se deberá cumplir el teorema de Euler (v-a + c = 2). En efecto (v = 60, a = 90, c = 32): 60-90 +32 = 2.
Pongamos que queramos hacer el recuento del número de vértices de un dodecaedro. Sabemos que tiene 12 caras pentagonales. Razonamos de la siguiente manera, haciendo uso del principio de multiplicación, como cada cara pentagonal tiene 5 vértices, partimos, de entrada de 5x12 = 60 vértices; de estos, hay que se cuentan más de una vez: cada vértices del dodecaedro es compartido por 3 caras pentagonales, por tanto, en realidad hay 60 div 3 = 20 vértices.
Si queremos contar el número de aristas haremos algo similar: cada pentágono tiene 5 aristas, por tanto, partimos de 12 x 5 = 60 aristas; pero, de estas hay que están contadas más de una vez, como cada arista está compartida por dos caras del poliedro, en realidad hay 60 div 2 =30 aristas.
Obsérvese que, como en todo poliedro convexo, se cumple el teorema de Euler: el número de vértices menos el número de aristas más el número de caras es igual a 2 (v-a + c = 2). Veamos que es así: 20-30 +12 = 2
ICOSAEDRO
Pongamos que queramos hacer el recuento del número de vértices de un icosaedro. Sabemos que tiene 20 caras triangulares. Como antes, razonamos de la siguiente manera, haciendo uso del principio de multiplicación, como cada cara triangular tiene 3 vértices, partimos, de entrada de 3x20 = 60 vértices; de estos, hay que se cuentan más de una vez: cada vértice del icosaedro es compartido por 5 caras pentagonales, por tanto, un icosaedro tiene 60 div 5 = 12 vértices.
Si queremos contar el número de aristas haremos algo similar: cada triángulo tiene 5 aristas, por tanto, partimos de 20 x 3 = 60 aristas; pero, de estas hay que están contadas más de una vez: como cada una de estas aristas está compartida por dos caras del poliedro, en realidad hay 60 div 2 = 30 aristas.
Obsérvese que, como en todo poliedro convexo, se cumple el teorema de Euler: el número de vértices menos el número de aristas más el número de caras es igual a 2 (v-a + c = 2). Vamos a comprobarlo: 12-30 +20 = 2
ICOSAEDRO TRUNCADO
Podemos obtener este poliedro -- algunos balones de fútbol con piezas de cuero cosidas se construyen así -- truncando un icosaedro regular tal como indica la figura de abajo.
Acabamos de ver que el número de vértices de un icosaedro es igual a 12. Cuando el descabezado convertimos cada uno de estos vértices en cinco; por tanto, un icosaedro truncado tiene 12x5 = 60 vértices.
En cuanto al número de caras, observamos atentamente la figura de la izquierda que muestra el número de elementos que aparecen cuando el descabezado: encontramos que cada una de las 12 vértices del icosaedro, al ser descabezado, da una cara pentagonal y, en cada una de las 20 caras del icosaedro, acaba quedando un hexágono, por tanto, tendremos 12 +20 = 32 caras para el icosaedro truncado.
Fijémonos ahora con el número de aristas: aparecen cinco aristas para cada vértice del icosaedro (color verde), que hacen un total de 12x5 = 60 aristas de color verde; además, hay que tener en cuenta las tres 3 aristas por cada cara hexagonal (de color rosa), pero como cada una de estas es compartida por dos caras, hay que considerar 20x3 / 2 = 30 aristas de color rosa. El total de aristas del icosaedro truncado es pues de 60 +30 = 90.
Como un icosaedro truncado es un poliedro convexo, se deberá cumplir el teorema de Euler (v-a + c = 2). En efecto (v = 60, a = 90, c = 32): 60-90 +32 = 2.
¿ Cuántos poliedros regulares existen ? ¿ Cuáles son ? Descríbalos.
Enunciado:
¿ Cuántos políedros regulares existen ? ¿ Cuáles son ? Descríbalos.
Solución:
Hay cinco políedros regulares, los cuales son todos convexos, y son los siguientes:
1. Tetraedro: consta de 4 caras ( las cuales son triángulos equiláteros ); 4 vértices, y 6 aristas
2. Hexaedro ( cubo ): consta de 6 caras ( las cuales son cuadrados); 8 vértices, y 12 aristas
3. Octaedro: consta de 8 caras ( las cuales son triángulos equiláteros); 6 vértices, y 8 aristas
4. Dodecaedro: consta de 12 caras ( las cuales son pentágonos regulares); 20 vértices, y 30 aristas
5. Icosaedro: consta de 20 caras ( las cuales son triángulos equiláteros ); 12 vértices, y 30 aristas
$\square$
¿ Cuántos políedros regulares existen ? ¿ Cuáles son ? Descríbalos.
Solución:
Hay cinco políedros regulares, los cuales son todos convexos, y son los siguientes:
1. Tetraedro: consta de 4 caras ( las cuales son triángulos equiláteros ); 4 vértices, y 6 aristas
2. Hexaedro ( cubo ): consta de 6 caras ( las cuales son cuadrados); 8 vértices, y 12 aristas
3. Octaedro: consta de 8 caras ( las cuales son triángulos equiláteros); 6 vértices, y 8 aristas
4. Dodecaedro: consta de 12 caras ( las cuales son pentágonos regulares); 20 vértices, y 30 aristas
5. Icosaedro: consta de 20 caras ( las cuales son triángulos equiláteros ); 12 vértices, y 30 aristas
$\square$
La generatriz de un cono mide $41\,\text{dm}$ y el radio de la base mide $9\,\text{dm}$. Se pide ....
Enunciado:
La generatriz de un cono mide $41\,\text{dm}$ y el radio de la base mide $9\,\text{dm}$. Se pide:
a) el volumen del cono
b) el área lateral
c) el ángulo del trazado del desarrollo plano de la superficie lateral
Solución:
a)
$V=\dfrac{1}{3}\,\pi\,r^2\,a$, siendo $a$ la altura del cono. Como la altura, un radio de la circunferencia de la base y la generatriz correspondiente forman un triángulo rectángulo podemos obtener el valor de la altura aplicando el Teorema de Pitágoras: $a^2+r^2=g^2$, esto es, $a^2+9^2=41^2 \Rightarrow a^2=41^2-9^2=1600$, y, por tanto, $a=\sqrt{1600}=40\,\text{dm}$. Entonces, de la fórmula del volumen, $V=\dfrac{1}{3}\cdot\pi\cdot 9^2\cdot 40=1080\,\pi \,\text{dm}^3 \approx 2393 \, \text{dm}^3$
b)
$A_{\text{lateral}}=\pi\,r\,g=\pi \cdot 41 \cdot 9 = 369\,\pi \, \text{dm}^2 \approx 1159\,\text{dm}^2$
c)
$\alpha = 360º \cdot \dfrac{r}{g}=\dfrac{360 \cdot 9}{41}º \approx 79º$
$\square$
La generatriz de un cono mide $41\,\text{dm}$ y el radio de la base mide $9\,\text{dm}$. Se pide:
a) el volumen del cono
b) el área lateral
c) el ángulo del trazado del desarrollo plano de la superficie lateral
Solución:
a)
$V=\dfrac{1}{3}\,\pi\,r^2\,a$, siendo $a$ la altura del cono. Como la altura, un radio de la circunferencia de la base y la generatriz correspondiente forman un triángulo rectángulo podemos obtener el valor de la altura aplicando el Teorema de Pitágoras: $a^2+r^2=g^2$, esto es, $a^2+9^2=41^2 \Rightarrow a^2=41^2-9^2=1600$, y, por tanto, $a=\sqrt{1600}=40\,\text{dm}$. Entonces, de la fórmula del volumen, $V=\dfrac{1}{3}\cdot\pi\cdot 9^2\cdot 40=1080\,\pi \,\text{dm}^3 \approx 2393 \, \text{dm}^3$
b)
$A_{\text{lateral}}=\pi\,r\,g=\pi \cdot 41 \cdot 9 = 369\,\pi \, \text{dm}^2 \approx 1159\,\text{dm}^2$
c)
$\alpha = 360º \cdot \dfrac{r}{g}=\dfrac{360 \cdot 9}{41}º \approx 79º$
$\square$
El radio de la base de un depósito que tiene forma cilíndrica mide $3\,\text{m}$; la altura de dicho cilindro mide $2\,\text{m}$. Se pide ...
Enunciado:
El radio de la base de un depósito que tiene forma cilíndrica mide $3\,\text{m}$; la altura de dicho cilindro mide $2\,\text{m}$. Se pide:
a) la capacidad, en litros, de dicho depósito
b) el área lateral del depósito
Solución:
a)
Calculemos, primero, el volumen del depósito ( despreciando el volumen de las paredes y el grosor de la base): $V=\pi\,r^2\,a$, siendo $r$ el radio de la base y $a$ la altura; entonces,
$V=\pi \cdot 3^2 \cdot 2 = 18 \, \pi \, \text{m}^3$. Teniendo en cuenta, ahora, la equivalencia entre unidades de capacidad y volumen: $1 \, \text{dm}^3 = 1 \, \text{L}$, y, por tanto, $1\,\text{m^3}=1000 \, \text{L}$, la capacidad de dicho depósito es $18000\,\pi \, \text{L} \approx 56549 \, \text{L}$
b)
El área lateral del depósito ( área de la superficie lateral del desarrollo plano del cilindro ) es igual $2\,\pi\,r\,a$, por tratarse de un rectángulo de lados $a$ y $2\,\pi\,r$ ( pues tiene que enrollarse alrededor de la circunferencia de la base, que es de radio $r$ ), luego es igual a $2\,\pi \cdot 3 \cdot 2 = 12\,\pi \,\text{m}^2 \approx 38 \, \text{m}^2$
$\square$
El radio de la base de un depósito que tiene forma cilíndrica mide $3\,\text{m}$; la altura de dicho cilindro mide $2\,\text{m}$. Se pide:
a) la capacidad, en litros, de dicho depósito
b) el área lateral del depósito
Solución:
a)
Calculemos, primero, el volumen del depósito ( despreciando el volumen de las paredes y el grosor de la base): $V=\pi\,r^2\,a$, siendo $r$ el radio de la base y $a$ la altura; entonces,
$V=\pi \cdot 3^2 \cdot 2 = 18 \, \pi \, \text{m}^3$. Teniendo en cuenta, ahora, la equivalencia entre unidades de capacidad y volumen: $1 \, \text{dm}^3 = 1 \, \text{L}$, y, por tanto, $1\,\text{m^3}=1000 \, \text{L}$, la capacidad de dicho depósito es $18000\,\pi \, \text{L} \approx 56549 \, \text{L}$
b)
El área lateral del depósito ( área de la superficie lateral del desarrollo plano del cilindro ) es igual $2\,\pi\,r\,a$, por tratarse de un rectángulo de lados $a$ y $2\,\pi\,r$ ( pues tiene que enrollarse alrededor de la circunferencia de la base, que es de radio $r$ ), luego es igual a $2\,\pi \cdot 3 \cdot 2 = 12\,\pi \,\text{m}^2 \approx 38 \, \text{m}^2$
$\square$
Dibuje los siguientes cuerpos geométricos: a) un prisma recto de base rectangular b) un cilindro c) un cono d) una pirámide recta de base cuadrada
Enunciado:
Dibuje los siguientes cuerpos geométricos:
a) un prisma recto de base rectangular
b) un cilindro
c) un cono
d) una pirámide recta de base cuadrada
Solución:
Dibuje los siguientes cuerpos geométricos:
a) un prisma recto de base rectangular
b) un cilindro
c) un cono
d) una pirámide recta de base cuadrada
Solución:
Aplique la fórmula de Euler para averiguar el número de aristas de un cierto poliedro convexo que tiene cinco caras y cinco vértices.
Enunciado:
Aplique la fórmula de Euler para averiguar el número de aristas de un cierto poliedro convexo que tiene cinco caras y cinco vértices.
Solución:
Fórmula de Euler ( para políedros convexos ): $v-a+c=2$, siendo $v$ el número de vértices; $a$, el número de aristas, y $c$ el número de caras. Entonces, en nuestro caso: $5-a+5=2$, de donde, despejando $a$, obtenemos $a=8$ ( se trata de una pirámide cuya base es un cuadrilátero ).
$\square$
Aplique la fórmula de Euler para averiguar el número de aristas de un cierto poliedro convexo que tiene cinco caras y cinco vértices.
Solución:
Fórmula de Euler ( para políedros convexos ): $v-a+c=2$, siendo $v$ el número de vértices; $a$, el número de aristas, y $c$ el número de caras. Entonces, en nuestro caso: $5-a+5=2$, de donde, despejando $a$, obtenemos $a=8$ ( se trata de una pirámide cuya base es un cuadrilátero ).
$\square$
lunes, 9 de junio de 2014
Determine, utilizando el Teorema de Tales, la longitud del segmento $[O,A]$ a partir de la figura y de los datos que a continuación se indican: $CD=5\,\text{dm}$, $OC=3\,\text{dm}$ y $AB=7\,\text{dm}$
Enunciado:
Determine, utilizando el Teorema de Tales, la longitud del segmento $[O,A]$ a partir de la figura y de los datos que a continuación se indican: $CD=5\,\text{dm}$, $OC=3\,\text{dm}$ y $AB=7\,\text{dm}$
Nota: La figura es sólo un esquema ( no está hecha a escala ).
Solución:
$\square$
Determine, utilizando el Teorema de Tales, la longitud del segmento $[O,A]$ a partir de la figura y de los datos que a continuación se indican: $CD=5\,\text{dm}$, $OC=3\,\text{dm}$ y $AB=7\,\text{dm}$
Nota: La figura es sólo un esquema ( no está hecha a escala ).
Solución:
El lado del hexágono inscrito ( figura ) mide $2\,\text{dm}$. Calcule ...
Enunciado:
El lado del hexágono inscrito ( figura ) mide $2\,\text{dm}$. Calcule:
a) El radio de la circunferencia circunscrita al hexágono
b) El área del círculo
c) El área del hexágono inscrito en la circunferencia
d) El área de la región comprendida entre la circunferencia y el hexágono
e) El área de la región coloreada azul
f) El área de la región coloreada en verde
g) El área de la región coloreada en rojo
Nota: La figura no está realizada a escala; es, simplemente, un esquema.
Solución:
$\square$
El lado del hexágono inscrito ( figura ) mide $2\,\text{dm}$. Calcule:
a) El radio de la circunferencia circunscrita al hexágono
b) El área del círculo
c) El área del hexágono inscrito en la circunferencia
d) El área de la región comprendida entre la circunferencia y el hexágono
e) El área de la región coloreada azul
f) El área de la región coloreada en verde
g) El área de la región coloreada en rojo
Nota: La figura no está realizada a escala; es, simplemente, un esquema.
Solución:
$\square$
Calcule la longitud de la diagonal del prisma de base rectangular que se muestra en la figura, con los datos que se indican: $AB=6\,\text{m}$, $AE=5\,\text{m}$ y $AC=4\,\text{m}$
Enunciado:
Calcule la longitud de la diagonal del prisma de base rectangular que se muestra en la figura, con los datos que se indican: $AB=6\,\text{m}$, $AE=5\,\text{m}$ y $AC=4\,\text{m}$
Nota: Esta figura no está hecha a escala; es, sólo, un esquema.
Solución:
$\square$
Calcule la longitud de la diagonal del prisma de base rectangular que se muestra en la figura, con los datos que se indican: $AB=6\,\text{m}$, $AE=5\,\text{m}$ y $AC=4\,\text{m}$
Nota: Esta figura no está hecha a escala; es, sólo, un esquema.
Solución:
Determine la longitud del segmento $[A',B']$ a partir de los siguientes datos: $OA=7\,\text{cm}$; $AB=3\,\text{cm}$; $OA'=4\,\text{cm}$
Enunciado:
Determine la longitud del segmento $[A',B']$ a partir de los siguientes datos: $OA=7\,\text{cm}$; $AB=3\,\text{cm}$; $OA'=4\,\text{cm}$
Nota: Esta figura no está hecha a escala; es, sólo, un esquema.
Solución:
$\square$
Determine la longitud del segmento $[A',B']$ a partir de los siguientes datos: $OA=7\,\text{cm}$; $AB=3\,\text{cm}$; $OA'=4\,\text{cm}$
Nota: Esta figura no está hecha a escala; es, sólo, un esquema.
Solución:
Sean las siguientes medidas de ángulos $\alpha = 10º \, 2'\, 5''$ $\beta = 4º \, 42'\, 58''$. Calcular ...
Enunciado:
Sean las siguientes medidas de ángulos
$\alpha = 10º \, 2'\, 5''$
$\beta = 4º \, 42'\, 58''$
Calcular:
a) $\alpha + \beta$
b) $\alpha - \beta$
c) $12 \,\alpha$
d) $\dfrac{1}{6} \,\alpha$
Solución:
$\square$
Sean las siguientes medidas de ángulos
$\alpha = 10º \, 2'\, 5''$
$\beta = 4º \, 42'\, 58''$
Calcular:
a) $\alpha + \beta$
b) $\alpha - \beta$
c) $12 \,\alpha$
d) $\dfrac{1}{6} \,\alpha$
Solución:
$\square$
Resolver la siguiente ecuación: $$ \dfrac{x-1}{4}=\dfrac{3}{2}-\dfrac{x}{16}$$
Enunciado:
Resolver la siguiente ecuación: $$ \dfrac{x-1}{4}=\dfrac{3}{2}-\dfrac{x}{16}$$
Solución:
$\square$
Resolver la siguiente ecuación: $$ \dfrac{x-1}{4}=\dfrac{3}{2}-\dfrac{x}{16}$$
Solución:
Una día soleado, nos encontramos en una planicie donde hay un árbol de altura desconocida y cuya sombra tiene una longiud de $12 \, \text{m}$. Para determinar su altura, de forma indirecta, plantamos un bastón en el suelo, de $1\,\text{m}$ de altura y medimos la sombra que da, que es de $1,5\,\text{m}$ ( figura ). ¿ Cuál es la altura del árbol ?.
Enunciado:
Una día soleado, nos encontramos en una planicie donde hay un árbol de altura desconocida y cuya sombra tiene una longiud de $12 \, \text{m}$. Para determinar su altura, de forma indirecta, plantamos un bastón en el suelo, de $1\,\text{m}$ de altura y medimos la sombra que da, que es de $1,5\,\text{m}$ ( figura ). ¿ Cuál es la altura del árbol ?.
Nota: La figura es tan solo un esquema, no está hecha a escala.
Solución:
Teniendo en cuenta que los dos triángulos que se forman son semejantes, los lados correspondientes son proporcionales, luego $\dfrac{12}{1,5}=\dfrac{x}{1} \Rightarrow x=8 \,\text{m}$
$\square$
Una día soleado, nos encontramos en una planicie donde hay un árbol de altura desconocida y cuya sombra tiene una longiud de $12 \, \text{m}$. Para determinar su altura, de forma indirecta, plantamos un bastón en el suelo, de $1\,\text{m}$ de altura y medimos la sombra que da, que es de $1,5\,\text{m}$ ( figura ). ¿ Cuál es la altura del árbol ?.
Nota: La figura es tan solo un esquema, no está hecha a escala.
Solución:
Teniendo en cuenta que los dos triángulos que se forman son semejantes, los lados correspondientes son proporcionales, luego $\dfrac{12}{1,5}=\dfrac{x}{1} \Rightarrow x=8 \,\text{m}$
$\square$
Si el $6\,\%$ de una cierta cantidad es $60$, ¿de qué cantidad se trata?
Enunciado:
Si el $6\,\%$ de una cierta cantidad es $60$, ¿de qué cantidad se trata?
Solución:
Planteando la correspondiente proporción directa: $\dfrac{100}{6}=\dfrac{x}{60} \Rightarrow x=60 \cdot \dfrac{100}{6}=\dfrac{60 \cdot 100}{6}=\dfrac{60}{6}\cdot 100 = 10 \cdot 100 = 1000$
$\square$
Si el $6\,\%$ de una cierta cantidad es $60$, ¿de qué cantidad se trata?
Solución:
Planteando la correspondiente proporción directa: $\dfrac{100}{6}=\dfrac{x}{60} \Rightarrow x=60 \cdot \dfrac{100}{6}=\dfrac{60 \cdot 100}{6}=\dfrac{60}{6}\cdot 100 = 10 \cdot 100 = 1000$
$\square$
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: $$\left\{\begin{matrix} x &+&y&=&-1 \\ x &+&3\,y&=&0 \end{matrix}\right.$$
Enunciado:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: $$\left\{\begin{matrix} x &+&y&=&-1 \\ x &+&3\,y&=&0 \end{matrix}\right.$$
Solución:
$\square$
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: $$\left\{\begin{matrix} x &+&y&=&-1 \\ x &+&3\,y&=&0 \end{matrix}\right.$$
Solución:
$\square$
Resolver la siguiente proporción: $$\dfrac{3}{7}=\dfrac{x}{14}$$
Enunciado:
Resolver la siguiente proporción: $$\dfrac{3}{7}=\dfrac{x}{14}$$
Solución:
$\dfrac{3}{7}=\dfrac{x}{14} \Rightarrow x = 14 \cdot \dfrac{3}{7} = \dfrac{14 \cdot 3}{7} = \dfrac{14}{7} \cdot 3 = 2 \cdot 3 = 6$
$\square$
Resolver la siguiente proporción: $$\dfrac{3}{7}=\dfrac{x}{14}$$
Solución:
$\dfrac{3}{7}=\dfrac{x}{14} \Rightarrow x = 14 \cdot \dfrac{3}{7} = \dfrac{14 \cdot 3}{7} = \dfrac{14}{7} \cdot 3 = 2 \cdot 3 = 6$
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