Considerar dos triángulos semejantes tales que ...

ENUNCIADO. El área de un cierto triángulo mide $9\,\text{cm}^2$. Si dibujamos un triángulo semejante a escala $1:3$, ¿ cuánto mide el área de este otro triángulo ?.

SOLUCIÓN. Al ser la razón de semejanza $r=\dfrac{1}{3} \prec 1$, el triángulo semejante al de área dada ( de $9\,\text{cm}^2$ ) es más pequeño. Teniendo en cuenta que la razón entre las áreas es igual al cuadrado de la razón de semejanza, llamando $A'$ al área pedida, podemos escribir $$\dfrac{A'}{9}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^2$$ esto es $$\dfrac{A'}{9}=\dfrac{1}{9}$$ con lo cual $$A'=1\;\text{cm}^2$$
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Dados los triángulos semejantes ...

Enunciat:
Considerant els triangles semblants de la figura ( els angles homòlegs són iguals i, per tant, els costats corresponents són proporcionals ), calculeu el valor de la raó de semblança, $r$, i les longituds dels costats $a$ i $b'$.

Solució:
La raó aritmètica de les longituds dels costats corresponents dels quals en donen la seva mesura permet escriure la raó de semblança, que és igual a
    $\dfrac{306}{612}$
que, simplficant, queda
    $r=\dfrac{1}{2}$
Llavors s'ha de complir també que
    $\dfrac{b'}{268}=r$
és a dir
    $\dfrac{b'}{268}=\dfrac{1}{2} \Rightarrow b'=\dfrac{268}{2}=134\, \text{mm}$
I, semblantment, podem escriure
    $\dfrac{300}{a}=r$
és a dir
    $\dfrac{300}{a}=\dfrac{1}{2} \Rightarrow a=300\cdot 2 = 600 \, \text{mm}$
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Determine, utilizando el Teorema de Tales, la longitud del segmento $[O,A]$ a partir de la figura y de los datos que a continuación se indican: $CD=5\,\text{dm}$, $OC=3\,\text{dm}$ y $AB=7\,\text{dm}$

Enunciado:
Determine, utilizando el Teorema de Tales, la longitud del segmento $[O,A]$ a partir de la figura y de los datos que a continuación se indican: $CD=5\,\text{dm}$, $OC=3\,\text{dm}$ y $AB=7\,\text{dm}$

Nota:   La figura es sólo un esquema ( no está hecha a escala ).

Solución:

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[nota del autor]

Una día soleado, nos encontramos en una planicie donde hay un árbol de altura desconocida y cuya sombra tiene una longiud de $12 \, \text{m}$. Para determinar su altura, de forma indirecta, plantamos un bastón en el suelo, de $1\,\text{m}$ de altura y medimos la sombra que da, que es de $1,5\,\text{m}$ ( figura ). ¿ Cuál es la altura del árbol ?.

Enunciado:
Una día soleado, nos encontramos en una planicie donde hay un árbol de altura desconocida y cuya sombra tiene una longiud de $12 \, \text{m}$. Para determinar su altura, de forma indirecta, plantamos un bastón en el suelo, de $1\,\text{m}$ de altura y medimos la sombra que da, que es de $1,5\,\text{m}$ ( figura ). ¿ Cuál es la altura del árbol ?.

Nota:   La figura es tan solo un esquema, no está hecha a escala.

Solución:
Teniendo en cuenta que los dos triángulos que se forman son semejantes, los lados correspondientes son proporcionales, luego $\dfrac{12}{1,5}=\dfrac{x}{1} \Rightarrow x=8 \,\text{m}$

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[nota del autor]