Figuras semejantes

ENUNCIADO. Las medidas de un sobre son $10 \times 6$ centímetros. ¿ Cuáles son las medidas de otro sobre semejante al anterior, pero cuya área sea el doble de la de aquel ?.

SOLUCIÓN.

El área del primer sobre vale $10\cdot 6=60\; \text{cm}^2$, luego el área del segundo sobre es de $2 \cdot 60 = 120 \; \text{cm}^2$. La razón de semejanza es igual a la raíz cuadrada de la razón aritmética de las áreas de los dos sobres $r=\sqrt{\dfrac{120}{60}}=\sqrt{2}$.

Por tanto, el lado del segundo sobre que corresponde al de $10$ centímetros de longitud del primero es igual a $10 \cdot \sqrt{2} \approx 14,1 \; \text{cm}$; y la longitud del otro lado es igual a $6 \cdot \sqrt{2} \approx 8,5 \; \text{cm}$.

Las medidas del segundo sobre son, por tanto, $14,1 \times 8,5$ centímetros. $\square$

Considerar dos triángulos semejantes tales que ...

ENUNCIADO. El área de un cierto triángulo mide $9\,\text{cm}^2$. Si dibujamos un triángulo semejante a escala $1:3$, ¿ cuánto mide el área de este otro triángulo ?.

SOLUCIÓN. Al ser la razón de semejanza $r=\dfrac{1}{3} \prec 1$, el triángulo semejante al de área dada ( de $9\,\text{cm}^2$ ) es más pequeño. Teniendo en cuenta que la razón entre las áreas es igual al cuadrado de la razón de semejanza, llamando $A'$ al área pedida, podemos escribir $$\dfrac{A'}{9}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^2$$ esto es $$\dfrac{A'}{9}=\dfrac{1}{9}$$ con lo cual $$A'=1\;\text{cm}^2$$
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Dados los triángulos semejantes ...

Enunciat:
Considerant els triangles semblants de la figura ( els angles homòlegs són iguals i, per tant, els costats corresponents són proporcionals ), calculeu el valor de la raó de semblança, $r$, i les longituds dels costats $a$ i $b'$.

Solució:
La raó aritmètica de les longituds dels costats corresponents dels quals en donen la seva mesura permet escriure la raó de semblança, que és igual a
    $\dfrac{306}{612}$
que, simplficant, queda
    $r=\dfrac{1}{2}$
Llavors s'ha de complir també que
    $\dfrac{b'}{268}=r$
és a dir
    $\dfrac{b'}{268}=\dfrac{1}{2} \Rightarrow b'=\dfrac{268}{2}=134\, \text{mm}$
I, semblantment, podem escriure
    $\dfrac{300}{a}=r$
és a dir
    $\dfrac{300}{a}=\dfrac{1}{2} \Rightarrow a=300\cdot 2 = 600 \, \text{mm}$
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