Recuento del número de vértices, aristas y caras de un dodecaedro, de un icosaedro y de un icosaedro truncado

DODECAEDRO
Pongamos que queramos hacer el recuento del número de vértices de un dodecaedro. Sabemos que tiene 12 caras pentagonales. Razonamos de la siguiente manera, haciendo uso del principio de multiplicación, como cada cara pentagonal tiene 5 vértices, partimos, de entrada de 5x12 = 60 vértices; de estos, hay que se cuentan más de una vez: cada vértices del dodecaedro es compartido por 3 caras pentagonales, por tanto, en realidad hay 60 div 3 = 20 vértices.

Si queremos contar el número de aristas haremos algo similar: cada pentágono tiene 5 aristas, por tanto, partimos de 12 x 5 = 60 aristas; pero, de estas hay que están contadas más de una vez, como cada arista está compartida por dos caras del poliedro, en realidad hay 60 div 2 =30 aristas.

Obsérvese que, como en todo poliedro convexo, se cumple el teorema de Euler: el número de vértices menos el número de aristas más el número de caras es igual a 2 (v-a + c = 2). Veamos que es así: 20-30 +12 = 2

ICOSAEDRO
Pongamos que queramos hacer el recuento del número de vértices de un icosaedro. Sabemos que tiene 20 caras triangulares. Como antes, razonamos de la siguiente manera, haciendo uso del principio de multiplicación, como cada cara triangular tiene 3 vértices, partimos, de entrada de 3x20 = 60 vértices; de estos, hay que se cuentan más de una vez: cada vértice del icosaedro es compartido por 5 caras pentagonales, por tanto, un icosaedro tiene 60 div 5 = 12 vértices.

Si queremos contar el número de aristas haremos algo similar: cada triángulo tiene 5 aristas, por tanto, partimos de 20 x 3 = 60 aristas; pero, de estas hay que están contadas más de una vez: como cada una de estas aristas está compartida por dos caras del poliedro, en realidad hay 60 div 2 = 30 aristas.

Obsérvese que, como en todo poliedro convexo, se cumple el teorema de Euler: el número de vértices menos el número de aristas más el número de caras es igual a 2 (v-a + c = 2). Vamos a comprobarlo: 12-30 +20 = 2

ICOSAEDRO TRUNCADO

Podemos obtener este poliedro -- algunos balones de fútbol con piezas de cuero cosidas se construyen así -- truncando un icosaedro regular tal como indica la figura de abajo.

Acabamos de ver que el número de vértices de un icosaedro es igual a 12. Cuando el descabezado convertimos cada uno de estos vértices en cinco; por tanto, un icosaedro truncado tiene 12x5 = 60 vértices.

En cuanto al número de caras, observamos atentamente la figura de la izquierda que muestra el número de elementos que aparecen cuando el descabezado: encontramos que cada una de las 12 vértices del icosaedro, al ser descabezado, da una cara pentagonal y, en cada una de las 20 caras del icosaedro, acaba quedando un hexágono, por tanto, tendremos 12 +20 = 32 caras para el icosaedro truncado.

Fijémonos ahora con el número de aristas: aparecen cinco aristas para cada vértice del icosaedro (color verde), que hacen un total de 12x5 = 60 aristas de color verde; además, hay que tener en cuenta las tres 3 aristas por cada cara hexagonal (de color rosa), pero como cada una de estas es compartida por dos caras, hay que considerar 20x3 / 2 = 30 aristas de color rosa. El total de aristas del icosaedro truncado es pues de 60 +30 = 90.

Como un icosaedro truncado es un poliedro convexo, se deberá cumplir el teorema de Euler (v-a + c = 2). En efecto (v = 60, a = 90, c = 32): 60-90 +32 = 2.

[nota del autor]