Representación de poliedros

En el escrito anterior hablaba del teorema de Euler, válido para los poliedros convexos, que son los que no tienen entradas. Tenemos un herramienta valiosa para investigar las relaciones de los poliedros: un grafo planar que llamamos diagrama de Schlegel. Todo poliedro convexo podemos representar por un grafo planar, resultado de imaginar el poliedro proyectado sobre un plano, haciendo distinción de todas sus aristas y vértices. Pues bien, un grafo planar cumple que v-a + c = 1 (donde, ahora, v representa un punto donde van a parar varias aristas y, por cara, entendemos el espacio de plano cerrado por dos aristas las que no hay que las dibujamos paso rectilíneas. De hecho, si contamos la cara exterior como una cara más, podemos expresarlo tal como el teorema de Euler, v-a + c = 2. La figura muestra los grafos correspondientes al tetraedro (v = 4, a = 6, c = 3) y al ocatedre (c = 8, v = 9, a = 16). Observamos que, efectivamente, se cumple el resultado que comento: 4-6 +3 = 1, y 9 -16 +8 = 1), de la misma manera que se cumple en todos los grafos planares. Todo esto tiene interesantes aplicaciones, como el diseño y análisis de circuitos eléctricos, análisis de la estructura molecular.

[nota del autor]