Ejercicio 5 de la semana del 11 al 17 de mayo de 2020

ENUNCIADO.

Manuel cobra un salario de $1\,200$ euros, pero se le retiene el $19\,\%$ en concepto de IRPF (Impuesto sobre la Renta de las Personas Física). ¿ De cuánto dinero dispone para cubrir sus gastos ?


NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas


SOLUCIÓN. La cantidad de dinero neto del cual podrá disponer es $1200\cdot \dfrac{100-19}{100}=972$ euros

Descuentos

ENUNCIADO. En época de rebajas, con una tasa de descuento del $5\,\%$, hemos adquirido unos pantalones por los que hemos pagado $20$ euros. ¿ Cuánto hubiésemos tenido que pagar si los hubiésemos comprado antes de las rebajas ?.

SOLUCIÓN. Podemos contemplar este tipo de problemas en clave de tasas de variación e índices de variación de una cierta magnitud. La tasa de variación de la cantidad a desenmbolsar al comprar un artículo ( en este caso, la variación se debe a la aplicación de una rebaja en el precio ) es $-0,05$ ( expresado en tanto por unidad ), luego el índice de variación es $1+(-0,05)=0,95$ ( expresado en tanto por unidad ); y, como el índice de variación es igual a la razón entre la cantidad final ( que corresponde a los $20$ euros que debemos pagar ) y la cantidad inicial ( vamos a denotarla por $x$ ) [ deberá ser, lógicamente, mayor que $20$ euros ] cumple que $$\dfrac{20}{x}=0,95$$ luego $x=\dfrac{20}{0,95}\approx 21,05 \; \text{euros}$ ( redondeando al céntimo ).

Una forma más práctica de emplear las mismas ideas consiste en plantear, directamente, una sencilla proporción empleando tantos por cientos, que corresponde a la igualdad entre dos razones ( entre lo que pagamos y lo que pagaríamos sin el descuento -- recordemos que denotamos ésto último por $x$ --) , y que es la siguiente $$\dfrac{100-5}{100}=\dfrac{20}{x}$$ [ Observemos que el miembro de la izquierda es, precisamente, el índice de variación, en base $100$ ]
Por tanto $$\dfrac{x}{20}=\dfrac{100}{95}$$ y despejando $x$ $$x=\dfrac{20 \cdot 100}{95} \approx 21,05\; \text{euros}$$
$\square$

Compramos un artículo cuyo precio es de $15$ euros. El vendedor nos hace un descuento del $4\,\%$, pero por la operación comercial, debemos pagar un impuesto del $15\,\%$. ¿Cuánto tendremos que pagar por la adquisición de dicho artículo?

ENUNCIADO:
Compramos un artículo cuyo precio es de $15$ euros. El vendedor nos hace un descuento del $4\,\%$, pero por la operación comercial, debemos pagar un impuesto del $15\,\%$. ¿Cuánto tendremos que pagar por la adquisición de dicho artículo?

SOLUCIÓN:
Con el descuento del $4\,\%$, calcularemos primero la cantidad a pagar, $x$, por el artículo ( sin cargar aún el impuesto ). Planteando la proporción directa
$$\dfrac{100-4}{100}=\dfrac{x}{15}$$
obtenemos $x=\dfrac{96\cdot 15}{100}$, esto es, $x=14,40$ euros.

Ahora, cargamos el impuesto a esa cantidad que acabamos de calcular, para obtener la cantidad de dinero a pagar ( que denotaremos por $y$ ) por la adquisición del artículo:
$$\dfrac{100+15}{100}=\dfrac{y}{14,40}$$
despejando $y$, obtenemos
$$y=\dfrac{115\cdot 14,40}{100}$$
y haciendo las operaciones del segundo miembro,
$$y=16,56 \, \text{euros}$$

COMENTARIO:
También podemos llegar al mismo resultado cambiando el orden de los dos pasos que hemos seguido, pues no depende de ello el resultado de ello; es decir, si calculáramos primero la cantidad a pagar por el impuesto y, sobre dicho resultado parcial, obtuviéramos el descuento, llegaríamos también a la solución.

$\square$

Hemos comprado un producto cuyo precio era de $20,00$ euros; sin embargo, hemos tenido que pagar un impuesto, con lo cual hemos tenido que pagar $22,50$ euros. ¿ Qué tanto por ciento representa dicho impuesto sobre el precio base ?

ENUNCIADO:
Hemos comprado un producto cuyo precio era de $20,00$ euros; sin embargo, hemos tenido que pagar, además, un impuesto por dicha operación comercial, con lo cual la cantidad total a pagar ha sido de $22,50$ euros. ¿Qué tanto por ciento representa dicho impuesto sobre el precio base?

SOLUCIÓN:
Como hay una relación de proporcionalidad directa entre el valor a pagar por el impuesto y el valor de base del artículo, denotando por $t$ al tanto por ciento pedido ( porcentaje del impuesto ), podemos escribir la siguiente proporción
$$\dfrac{100+t}{100}=\dfrac{22,50}{20}$$
de donde podemos despejar $t$,
$$t=\dfrac{22,50\cdot 100}{20}-100$$
y, haciendo los cálculos del segundo miembro, obtenemos
$$t=12,5\,\%$$
$\square$

En unas rebajas, se aplica un descuento del $2\,\%$ sobre el precio original de un cierto artículo. Aprovechando la oferta, lo hemos comprado y nos ha costado $15$ euros. ¿Cuánto nos hubiese costado antes de las rebajas ?

Enunciado:
En unas rebajas, se aplica un descuento del $2\,\%$ sobre el precio original de un cierto artículo. Aprovechando la oferta, lo hemos comprado y nos ha costado $15$ euros. ¿Cuánto nos hubiese costado antes de las rebajas?

Solución:

$\square$

El $6\,\%$ de una cierta cantidad es $60$. ¿A qué cantidad nos referimos?

Enunciado:
El $6\,\%$ de una cierta cantidad es $60$. ¿A qué cantidad nos referimos?

Resolución:
Sea $x$ la cantidad pedida; entonces, planteando la proporción directa $\dfrac{100}{6}=\dfrac{x}{60}$, de donde obtenemos $x=\dfrac{60\cdot 100}{6}=1000$
$\square$

[nota del autor]

El $3\,\%$ de una cierta cantidad es $75$. ¿ De qué cantidad estamos hablando ?.

Enunciado:
El $3\,\%$ de una cierta cantidad es $75$. ¿ De qué cantidad estamos hablando ?.

Resolución:
Sea $x$ la cantidad pedida, entonces por la relación de proporcionalidad directa entre la cantidad deducida y la cantidad total: $\dfrac{100}{3}=\dfrac{x}{75}$, con lo cual $x=75 \cdot \dfrac{100}{3} = \dfrac{75}{3} \cdot 100 = 25 \cdot 100 = 2\,500$
$\blacksquare$

[nota del autor]