Descuentos

ENUNCIADO. En época de rebajas, con una tasa de descuento del $5\,\%$, hemos adquirido unos pantalones por los que hemos pagado $20$ euros. ¿ Cuánto hubiésemos tenido que pagar si los hubiésemos comprado antes de las rebajas ?.

SOLUCIÓN. Podemos contemplar este tipo de problemas en clave de tasas de variación e índices de variación de una cierta magnitud. La tasa de variación de la cantidad a desenmbolsar al comprar un artículo ( en este caso, la variación se debe a la aplicación de una rebaja en el precio ) es $-0,05$ ( expresado en tanto por unidad ), luego el índice de variación es $1+(-0,05)=0,95$ ( expresado en tanto por unidad ); y, como el índice de variación es igual a la razón entre la cantidad final ( que corresponde a los $20$ euros que debemos pagar ) y la cantidad inicial ( vamos a denotarla por $x$ ) [ deberá ser, lógicamente, mayor que $20$ euros ] cumple que $$\dfrac{20}{x}=0,95$$ luego $x=\dfrac{20}{0,95}\approx 21,05 \; \text{euros}$ ( redondeando al céntimo ).

Una forma más práctica de emplear las mismas ideas consiste en plantear, directamente, una sencilla proporción empleando tantos por cientos, que corresponde a la igualdad entre dos razones ( entre lo que pagamos y lo que pagaríamos sin el descuento -- recordemos que denotamos ésto último por $x$ --) , y que es la siguiente $$\dfrac{100-5}{100}=\dfrac{20}{x}$$ [ Observemos que el miembro de la izquierda es, precisamente, el índice de variación, en base $100$ ]
Por tanto $$\dfrac{x}{20}=\dfrac{100}{95}$$ y despejando $x$ $$x=\dfrac{20 \cdot 100}{95} \approx 21,05\; \text{euros}$$
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Tasa e índice de variación

ENUNCIADO. El censo de una población ha pasado de tener un valor de $450$ a $440$ personas. Se pide:
a) ¿ Cuál es la tasa de variación ? ( expresarla en tanto por ciento )
b) ¿ Cuál es el índice de variación ? ( expresarlo en tanto por unidad )

SOLUCIÓN.
a) La tasa de variación es la diferencia entre el valor final y el valor inicial relativa a éste último; por tanto, es igual a $\dfrac{440-450}{450}=\dfrac{-10}{450}=-\dfrac{1}{45}=-0,0\bar{2}$ ( expresado en tanto por unidad ), por lo que expresado en tanto por ciento es $-2,\bar{2}\,\% \approx -2,22\,\%$. Nota: el que la tasa de variación sea negativa indica que la variación ha representado una disminución.

b) El índice de variación se define como la razón entre el valor final y el valor inicial, y, por tanto, en este caso es igual a $\dfrac{440}{450}=0,9\bar{8} \approx 0,9889$. Nota: el que sea menor que $1$ indica que la variación ha representado una disminución.

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Tasa de variación e índice de variación

Sea un magnitud $X$. Supongamos que su valor cambia de $x_i$ a $x_f$. Decimos entonces que la variación, $V$, entre estas dos medidas de $X$ es igual a $x_f-x_i$; y, que la variación relativa con respecto del valor inicial, o tasa de variación, $TV$, es $\dfrac{x_f-x_i}{x_i}$ ( esto es $\dfrac{V}{x_i}$ ), que viene, así, dada en tanto por unidad, si bien es usual expresarla también en tanto por ciento.

Observemos que debe cumplirse la siguiente proporción ( igualdad de razones aritméticas ) $$\dfrac{x_f}{x_i}=1+TV$$ expresando la tasa de variación en tanto por ciento, también podemos escribir $$\dfrac{x_f}{x_i}=\dfrac{100+TV}{100}$$ La cantidad del segundo miembro, $1+TV$, se denomina índice de variación ( y la denotaremos por $IV$ ) de la magnitud $X$ correspondiente al cambio de valores de dicha magnitud, de $x_i$ a $x_f$

Ejemplo:
ENUNCIADO.
En un municipio, la magnitud número de personas censadas, entre dos medidas, de la misma pasa de $400$ a $395$. ¿ Cuál la variación del censo entre estas dos medidas ? ¿ Cuál es la tasa de variación del censo ? ¿ Cuál es el valor del índice de variación del censo ?

SOLUCIÓN.
La variación del censo es $V=395-400=-5$. El que la variación sea negativa es debido a la disminución ( decremento ) del número de personas censadas de una medida ( $x_i=400$ ) a la siguiente ( $x_f=395$ )

La tasa de variación, $TV=\dfrac{V}{x_i}$, tiene el siguiente valor: $TV=\dfrac{-5}{400}=-0,0125$, que en tanto por ciento es igual a $-1,25\,\%$. Observación: el valor negativo de la tasa de variación indica que se ha producido una disminución.

El índice de variación, $IV=\dfrac{x_f}{x_i}=1+TV$, tiene el siguiente valor: $IV=1+(-0,0125)=0,9875$, que en tanto por ciento es igual a $98,75\,\%$. El que este valor sea inferior al $100\,\%$ denota que se ha producido una disminución del censo ( si se hubiese dado un aumento, este valor hubiese sido superior al $100\,\%$ ). Una observación más: tal y como se ha comentado, también podemos obtener el valor del índice de variación dividiendo $x_f$ entre $x_i$; en efecto, $IV=\dfrac{395}{400}=0,9875$, que expresado en tanto por ciento corresponde al $98,75\,\%$. $\square$