Tasa de variación e índice de variación

Sea un magnitud $X$. Supongamos que su valor cambia de $x_i$ a $x_f$. Decimos entonces que la variación, $V$, entre estas dos medidas de $X$ es igual a $x_f-x_i$; y, que la variación relativa con respecto del valor inicial, o tasa de variación, $TV$, es $\dfrac{x_f-x_i}{x_i}$ ( esto es $\dfrac{V}{x_i}$ ), que viene, así, dada en tanto por unidad, si bien es usual expresarla también en tanto por ciento.

Observemos que debe cumplirse la siguiente proporción ( igualdad de razones aritméticas ) $$\dfrac{x_f}{x_i}=1+TV$$ expresando la tasa de variación en tanto por ciento, también podemos escribir $$\dfrac{x_f}{x_i}=\dfrac{100+TV}{100}$$ La cantidad del segundo miembro, $1+TV$, se denomina índice de variación ( y la denotaremos por $IV$ ) de la magnitud $X$ correspondiente al cambio de valores de dicha magnitud, de $x_i$ a $x_f$

Ejemplo:
ENUNCIADO.
En un municipio, la magnitud número de personas censadas, entre dos medidas, de la misma pasa de $400$ a $395$. ¿ Cuál la variación del censo entre estas dos medidas ? ¿ Cuál es la tasa de variación del censo ? ¿ Cuál es el valor del índice de variación del censo ?

SOLUCIÓN.
La variación del censo es $V=395-400=-5$. El que la variación sea negativa es debido a la disminución ( decremento ) del número de personas censadas de una medida ( $x_i=400$ ) a la siguiente ( $x_f=395$ )

La tasa de variación, $TV=\dfrac{V}{x_i}$, tiene el siguiente valor: $TV=\dfrac{-5}{400}=-0,0125$, que en tanto por ciento es igual a $-1,25\,\%$. Observación: el valor negativo de la tasa de variación indica que se ha producido una disminución.

El índice de variación, $IV=\dfrac{x_f}{x_i}=1+TV$, tiene el siguiente valor: $IV=1+(-0,0125)=0,9875$, que en tanto por ciento es igual a $98,75\,\%$. El que este valor sea inferior al $100\,\%$ denota que se ha producido una disminución del censo ( si se hubiese dado un aumento, este valor hubiese sido superior al $100\,\%$ ). Una observación más: tal y como se ha comentado, también podemos obtener el valor del índice de variación dividiendo $x_f$ entre $x_i$; en efecto, $IV=\dfrac{395}{400}=0,9875$, que expresado en tanto por ciento corresponde al $98,75\,\%$. $\square$