Un problema de proporcionalidad inversa

ENUNCIADO. Una rueda dentada de $20$ dientes y que gira a razón de $10$ vueltas por minuto, transmite el movimiento a otra rueda dentada que tiene $50$ dientes. ¿ Cuántas vueltas por minuto da esa segunda rueda ?.

SOLUCIÓN.
SOLUCIÓN. Cuando dos ruedas dentadas se engranan, una trasmite el movimiento de giro a la otra ( que gira en sentido contrario al de la primera ). Además, hay que tener en cuenta que cuánto menor sea el número de dientes de una rueda, mayor será su velocidad de giro. Hay, por tanto, una relación de proporcionalidad inversa entre las magnitudes $X$ ( número de dientes ) e $Y$ ( velocidad de giro de la misma ). Por tanto, para dos pares de valores ( uno para cada rueda dentada ): $x_1=20$ dientes e $y_1=10$ vueltas por minuto; y, $x_2=50$ dientes e $y_2$ ( la incógnita en el problema ). Así, de acuerdo a la proporción inversa que hemos comentado, podemos escribir $$\dfrac{y_1}{1/x_1}=\dfrac{y_2}{1/x_2}$$ que, como sabemos, podemos escribir también de la forma $$x_1\,y_1=x_2\,y_2$$ y poniendo los datos $$20\cdot 10=50\cdot y_2$$ es decir $$200=50\,y_2$$ luego, despejando, $y_2$, llegamos a $$y_2=\dfrac{10\cdot 20}{50}=4\;\text{vueltas por minuto}$$
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