¿Y si hubiese ido a pie?

Conduciendo mi utilitario hasta un pueblecito vecino en la sierra de Guadarrama, me he fijado en que, yendo a una velocidad de $60\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ (la carretera es estrecha y tiene muchas curvas y, además, hoy hay escasa visibilidad por la niebla), he tardado $8\,\text{min}$. Durante ese corto trayecto me he preguntado cuánto tiempo tardaría si en lugar de ir en coche hubiese ido paseando.

No recordaba la distancia a recorrer que tiene el trayecto. Todavía no había llegado a mi destino y por tanto no podía consultar el cuentakilómetros para saberlo, lo que me hubiese permitido responder a mi pregunta dividiendo la longitud del trayecto por la velocidad que me propondría llevar al hacer el trayecto a pie (un simple cálculo de proporcionalidad directa). Sin embargo, hay una manera de calcular lo pedido sin conocer esa longitud: es también un cálculo directo y sencillo, lo cual se agradece, pues en el momento de realizar dicho cálcul, no podía escribir en un papel ni usar una calculadora, pues estaba conduciendo. Veamos de qué cálculo se trata.

Las magnitudes velocidad (se supone que ésta ha sido constante a lo largo de todo el trayecto) y tiempo empleado en realizarlo son inversamente proporcionales: $v_1\cdot t_1=v_2\cdot t_2=v_3\cdot t_3=\ldots=\text{constante}$. Esa constante (de proporcionalidad inversa) no puede representar otra cosa que la longitud de camino recorrida y que, luego, calcularemos por simple curiosidad.

Sabemos que una velocidad muy razonable que se lleva al ir andando por un terreno fácil es de $4\, \dfrac{\text{km}}{\text{h}}$, por lo tanto, mentalmente, podemos establecer que $60\cdot 8 = 4\,t$ donde $t$ es el tiempo que se tardaría andando, que es el que quiero saber. Si dividimos por $4$ ambos miembros de la igualdad, se llega a esta otra equivalente, que facilita mucho el cálculo mental: $60\cdot 2 = t$, luego $t=120\,\text{min}$, esto es, $2\,\text{h}$.

-oOo-

Observación: Notemos que con esto es bien sencillo calcular la longitud del trayecto; ahora, con una proporción directa entre la longitud recorrida y el tiempo empleado: $\dfrac{\ell_1}{t_1}=\dfrac{\ell_2}{t_2}=\dfrac{\ell_3}{t_3}=\ldots=\text{constante}$. Esa constante (de proporcionalidad directa) representa la velocidad (constante) que lleva un vehículo que va recorriendo, con sus respectivos tiempos, diversos tramos del recorrido (sin acelerar ni frenar en ningún momento).

A todo esto, vamos a calcular (mentalmente) la distancia que he recorrido hasta llegar al destino. Como, yendo en coche, en $1\,\text{h}=60\,\text{min}$ he recorrido $60\,\text{km}$ (o lo que es lo mismo, $1\,\text{km}$ en $1\,\text{min}$), puedo plantear la siguiente proporción directa: $\dfrac{1}{1}=\dfrac{\ell}{8}$, y por tanto $\ell=8\,\text{km}$.

Y de manera parecida, si lo razonase en el supuesto de que hubiese hecho el camino andando: como en $2\,\text{h}=120\,\text{min}$ hubiese recorrido $8\,\text{km}$, o lo que es lo mismo, en $1\,\text{h}=60\,\text{min}$ hubiese recorrido $4\,\text{km}$, puedo plantear la siguiente proporción directa: $\dfrac{4}{1}=\dfrac{\ell}{2}$, así que multiplicando por $2$ ambos miembros, se obtiene $\ell=2\cdot 4= 8\,\text{km}$. $\diamond$

Ejercicio 7 de la semana del 25 al 31 de mayo de 2020 - Proporcionalidad inversa

ENUNCIADO. Ejercicio 19 de la página 151 del libro base ( Unidad Didáctica 7 )
Tres desagües vacían un estanque en 10 horas. ¿ En cuánto tiempo se vaciaría con cuatro desagües ?.

INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

SOLUCIÓN. El tiempo de vaciado es inversamente proporcional al número de desagües. Denotempos por $x$ al tiempo pedido, entonces $$\dfrac{x}{1/4}=\dfrac{10}{1/3}$$ y por tanto $$4\,x=10\cdot 3$$ con lo cual $$x=\dfrac{30}{4}\, \text{h} = 7,5\,\text{h}=7\,\text{h}\,\text{y}\,30\,\text{min}$$
$\square$

Un excursionista recorre el trayecto entre ...

ENUNCIADO. Un excursionista recorre el trayecto entre dos refugios en $2$ horas, andando a una velocidad de $4$ kilómetros por hora. ¿ Si llevase una velocidad de $5$ kilómetros por hora y comenzara la caminata a las 08:00 horas, ¿ a qué hora llegaría al final del trayecto ?.

SOLUCIÓN.

Paso 1. Debemos calcular el tiempo que se necesita para hacer el recorrido entre los dos refugios, a la velocidad de $5$ kilómetros por hora.

Damos dos formas de calcularlo:
I)
Una manera muy sencilla de resolverlo es la siguiente. Andando a una velocidad de $4$ kilómetros por hora, en $1$ hora recorre $4$ kilómetros, luego en $2$ horas recorre $8$ kilómetros, que es la longitud del trayecto ( puesto que $2$ horas es el tiempo que tarda en recorrerlo ). Si, ahora, tenemos en cuenta el supuesto de que lo haga a una velocidad de $5$ kilómetros por hora, planteamos la siguiente proporción directa entre el tiempo, $t$, y la longitud recorrida; así, $$\dfrac{1}{5}=\dfrac{t}{8}$$ con lo cual $$t=\dfrac{8}{5}=1+\dfrac{3}{5}=1\; \text{h}\quad \text{y} \quad 36\; \text{min}$$

II)
Otra manera, más directa, es la siguiente. Considerando que las magnitudes velocidad (a la que se anda) y el tiempo necesario en recorrer el trayecto ( son inversamente proporcionales ), podemos plantear la siguiente proporción inversa: $$\dfrac{t}{1/5}=\dfrac{2}{1/4}$$ esto es $$5\,t=4\cdot 2$$ con lo cual $$t=\dfrac{8}{5}=1+\dfrac{3}{5}=1\; \text{h}\quad \text{y} \quad 36\; \text{min}$$

Paso 2. Calculamos la hora de llegada sumando el tiempo empleado a la hora de salida, y obtenemos $$08:00+01:36=09:36\; \text{horas}$$

$\square$

Un problema de grifos y depósitos con funciones

Un problema de proporcionalidad inversa

ENUNCIADO. Una rueda dentada de $20$ dientes y que gira a razón de $10$ vueltas por minuto, transmite el movimiento a otra rueda dentada que tiene $50$ dientes. ¿ Cuántas vueltas por minuto da esa segunda rueda ?.

SOLUCIÓN.
SOLUCIÓN. Cuando dos ruedas dentadas se engranan, una trasmite el movimiento de giro a la otra ( que gira en sentido contrario al de la primera ). Además, hay que tener en cuenta que cuánto menor sea el número de dientes de una rueda, mayor será su velocidad de giro. Hay, por tanto, una relación de proporcionalidad inversa entre las magnitudes $X$ ( número de dientes ) e $Y$ ( velocidad de giro de la misma ). Por tanto, para dos pares de valores ( uno para cada rueda dentada ): $x_1=20$ dientes e $y_1=10$ vueltas por minuto; y, $x_2=50$ dientes e $y_2$ ( la incógnita en el problema ). Así, de acuerdo a la proporción inversa que hemos comentado, podemos escribir $$\dfrac{y_1}{1/x_1}=\dfrac{y_2}{1/x_2}$$ que, como sabemos, podemos escribir también de la forma $$x_1\,y_1=x_2\,y_2$$ y poniendo los datos $$20\cdot 10=50\cdot y_2$$ es decir $$200=50\,y_2$$ luego, despejando, $y_2$, llegamos a $$y_2=\dfrac{10\cdot 20}{50}=4\;\text{vueltas por minuto}$$
$\square$

Proporcionalidad inversa en problemas de movimiento a velocidad constante ... ( Artículo escrito en catalán )

[nota del autor]

Proporcionalidad ...

Algunas nociones importantes: Una raó aritmètica és un quocient entre dos nombres reals obtinguts de les respectives mesures. Podem matisar una mica més aquesta definció: Una raó aritmètica entre dues quantitats, q1 i q1, és un nombre real que expressa la primera si prenem com a patró de mesura la segona: q1/q2. També és una raó aritmètica el quocient entre els valors de les mesures corresponents a dues magnituds M i N, m1/n1: m2/n2 ... Val a dir que s'anomena proporció a la igualtat entre dues raons aritmètiques, a/b i c/d: a/b = c/d. En una proporció es comleix que a.d = b.c La proporcionalitat com a tipus particular de relació de dependència entre magnituds Direm que una relació entre dues magnituds, M i N, és directa si un increment positiu en una comporta un increment positiu en l'altra. Una relació és inversa si un increment positiu d'una les dues comporta un increment negatiu en l'altra. Proporcionalitat directa entre dues magnituds M i N Donades dues magnituds M i N, direm que són magnituds directament proporcionals si per cada valor d'una d'elles mi es pot trobar un valor emparellat de l'altra, ni: {(m1,n1), (m2,n2), ...} de tal manera que m1/n1 = m2/n2 = m3/n = ... etcètera. Aquest valor constant s'anomena raó de proporcionalitat directa. Proporcionalitat inversa entre dues magnituds M i N Donades dues magnituds M i N, direm que són magnituds inversament proporcionals si per cada valor d'una d'elles mi es pot trobar un valor emparellat de l'altra, ni: {(m1,n1), (m2,n2), ...} de tal manera que m1/(1/n1) = m2/(1/n2) = m3/(1/n) = ... etcètera. Aquest valor constant s'anomena raó de proporcionalitat inversa.

Al pedalear, un ciclista hace girar el plato de una bicicleta de $42$ dientes, movimiento que es ...

ENUNCIADO:
Al pedalear, un ciclista hace girar el plato de una bicicleta de $42$ dientes, movimiento que es transmitido a la rueda trasera, en la que se ha seleccionado un piñón de $11$ dientes. El plato da una vuelta cada segundo. Sabiendo que la ruedas de la bicicleta tienen un diámetro de $26$ pulgadas, ¿ cuántos metros recorre la bicicleta cada segundo ?

SOLUCIÓN:
Como hay una relación de proporcionalidad inversa entre la velocidad de giro, $w$ y el diámetro, y por tanto el número de dientes, $z$, podemos escribir,
$$11\,w_{\text{trasera}}=42\cdot 1$$
de donde
$$w_{\text{trasera}}=\dfrac{42}{11} \, \text{vueltas/segundo}$$

Como la longitud de la circunferencia ( de la rueda ) es $\pi\,d$ ( siendo $d=26$ pulgadas el diámetro de la rueda ), en $1$ segundo recorrerá $26\cdot \pi \cdot \dfrac{42}{11}$ pulgadas, es decir $26\cdot \pi \cdot \dfrac{42}{11} \cdot 0,0254 \, \text{m} \approx 7,92 \, \text{m}$

Observación:
Contabilizando la frecuencia del pedaleo, el ciclista puede estimar ( haciendo cálculo mental ) la velocidad a la que se está desplazando.

$\square$

Proporcionalidad inversa y transmisión del movimiento ciercular entre dos ruedas por medio de una correa

ENUNCIADO:
Una correa transmite el movimiento circular de una rueda de $12\,\text{cm}$ radio, que gira a razón de $20$ vueltas por minuto, a otra rueda que tiene $5\,\text{cm}$ de radio. ¿Cuántas vueltas por minuto da esa segunda rueda?

SOLUCIÓN:
Denotemos por $Y$ la magnitud velocidad de giro, y por $X$ la magnitud radio de la rueda. Sabemos que existe una relación de proporcionalidad inversa entre ambas magnitdues. Por lo tanto podemos plantear la siguiente proporción: $$\dfrac{y_1}{1/x_1}=\dfrac{y_2}{1/x_2}$$
esto es
$$y_1 \,x_1=y_2 \,x_2$$
Así,
$$20 \cdot 12=5\,y_2 $$
y despejando $y_2$,
$$y_2=\dfrac{20 \cdot 12}{5}=48 \, \text{vueltas por minuto}$$
$\square$

Proporciones inversas y palancas

ENUNCIADO:
Sea una palanca de primer género. Se sabe que la magnitud distancia del punto de aplicación de la fuerza al fulcro es inversamente proporcional a dicho peso. Consideremos que la barra ( palanca ) tiene una longitud de $1\,\text{m}$ y que, para elevar un peso de $200\,\text{N}$, colocamos el fulcro a $0,20\,\text{m}$ del peso. ¿Qué fuerza deberemos realizar en el otro extremo de la barra?

SOLUCIÓN:

Sea $F$ la magnitud fuerza y $X$ la magnitud distancia al fulcro de la posición de la fuerza. Entonces, $$\dfrac{f_1}{1/x_1}=\dfrac{f_2}{1/x_2}$$ por ser inversa dicha relación de proporcionalidad, esto es
$$f_1 \,x_1=f_2 \,x_2$$
Así,
$$200 \cdot 0'20=(1-0'2)\,f_2$$
y despejando $f_2$,
$$f_2=\dfrac{40}{0'8}=50 \, \text{N}$$

$\square$

Reparto inversamente proporcional