Porcentajes ...

Impuestos y descuentos. Calculando el valor nominal

ENUNCIAT
Hem comprat un article pel qual hem pagat 42 €. Aquesta quantitat ja porta incorporat l'IVA del 18% i també un descompte del 5% que ens han fet sobre el preu nominal de l'article. Quin és el valor d'aquest preu ?

SOLUCIÓ
Cal deduir l'IVA i deduir el descompte (l'ordre d'aquests dos passos no és rellevant). Calculem, primer, quant hauríem pagat (x) sense l'IVA del 18%; per això, cal plantejar la següent proporció:
$\dfrac{118}{100} = \dfrac{42}{x}$. D'aquí trobem que $x = \dfrac{2100}{59}$. A continuació, i a partir d'aquest resultat parcial, calculem quant ens hauria costat (el que acabem de trobar) si no ens haguessin fet el descompte (y): $\dfrac{95}{100}=\dfrac{\dfrac{2100}{59}}{y}$. I resolent la proporció trobem el preu nominal (sense descompte i sense IVA) de l'article $y \approx 37,47$ €
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Una persona ha ido a comer a un restaurante

Enunciat:
Una persona ha anat a dinar a un restaurant. Li ha costat $9,50 \; \text{euros}$   ( amb un IVA del $10 \,\%$ inclòs sobre el preu del dinar ). Si aquest impost no fos de tipus reduït (del $10\%$, aplicat als restaurants i a l'hostatgeria ), ans fos del tipus habitual per al comerç ( $21\%$ ), quant li hauria costat el dinar ?

Solució:

Anomenem:
    $x$, al preu del dinar ( sense el càrrec de l'impost del $10\%$ )
    $y$, a la quantitat a pagar ( amb el càrrec de l'impost del $21\%$ sobre $x$ )

Plantegem les següents proporcions:

    $\dfrac{100}{100+110}=\dfrac{x}{9,50} \quad \quad \quad (1)$


    $\dfrac{100+21}{100}=\dfrac{y}{x} \quad \quad \quad (2)$

Multiplicant, membre a membre, les igualtats (2) i (1), s'obté

    $\dfrac{121}{100}\cdot \dfrac{100}{110}=\dfrac{y}{x}\cdot \dfrac{x}{9,50}$

expressió que, simplificant $x$, queda

    $\dfrac{121}{110}=\dfrac{y}{9,50}$

i, d'aquí, s'ha de complir que

    $121 \cdot 9,50 = 110 \, y$

llavors,

    $y=9,50 \cdot \dfrac{121}{110}$

        $=10,45 \; \text{euros}$

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El $5\%$ de una cierta cantidad de bolas

Enunciat:
El $5\%$ d'una determinada quantitat de boles és igual a $3$ boles. Quantes boles representen el $90\%$ del total de boles ?.

Solució:

Anomenem:
    $x$, al nombre total de boles

Calculem, primer de tot, el nombre total de boles plantejant la següent proporció:

    $\dfrac{5}{100}=\dfrac{3}{x}$

d'aquí, s'ha de complir que

    $5\, x = 100 \cdot 3$

llavors, el nombre total de boles és

    $x=\dfrac{100 \cdot 3}{5}$

        $=60$   boles

Calculem, ara, quant representa el $90\%$ d'aquestes $60$ boles (anomenem a $y$ a aquesta quantitat); per això plantegem la proporció,

    $\dfrac{90}{100}=\dfrac{y}{60}$

d'aquí s'ha de complir que

    $90 \cdot 60 =100 \, y$

llavors

    $y=\dfrac{90\cdot 60}{100}$

      $=\dfrac{5400}{100}$

      $=54$ boles

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El precio de veta al público de unos pantalones ...

Enunciat:
El preu de venda al públic d'un pantalons, inclòs el $21\,\%$ d'IVA, és de $60,00 \, \text{euros}$. Quin és el preu sense IVA ?.

Solució:
Per resoldre aquest problema cal entendre que apareixen en escena dues magnituds proporcionals: el preu de venda al públic ( que incorpora l'IVA ), que anomenarem $\mathcal{V}$, i, el preu nominal, que anomenarem $\mathcal{N}$. Aquest problema és de proporcionalitat directa perquè és evident que si el preu nominal de l'article agumenta, el preu de venda al públic també augmenta. Llavors, si $v_1$ i $v_2$ són dos valors de la magnitud $\mathcal{V}$, i $n_1$ i $n_2$ són els dos valors respectius de la magnitutd $\mathcal{N}$, s'ha de complir la següent proporció ( igualtat entre dues raons aritmètiques ) directa:
    $\dfrac{n_1}{v_1}=\dfrac{n_2}{v_2}$
        Remarca:   És important que ens fixem bé en el següent detall: els dos valors de $\mathcal{N}$ figuren als numeradors i els dos valors respectius de $\mathcal{V}$ als denominadors ( de forma equivalent, també podríem posar els dos valors de $\mathcal{N}$ als denominadors i els dos valors respectius de $\mathcal{V}$ als numeradors ).

Ara, posant els valors donats a l'enunciat, que són:
  $n_1=100$
  $v_1=100+21=121$
  $n_2=\text{?}$
  $v_2=60$
haurem de resoldre aquesta equació
    $\dfrac{100}{121}=\dfrac{n_2}{60,00}$
llavors, multiplicant ambdós membres de l'equació per $60$ arribem a
    $n_2 = \dfrac{60\cdot 100}{121}$
        $\approx 49,59 \, \text{euro}$

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Queremos comprar una camisa ...

Enunciat:
Volem comprar una camisa que té un preu de venda al públic ( i, per tant, ja inclou l'IVA ) de $20,00\, \text{euros}$. Quin és el preu nominal?.

Solució:
Tenint en compte que, en el moment de resoldre el problema, l'IVA vigent és del $21\,\text{\%}$, ranonarem de la següent manera per interpretar aquest percentatge:
Suposem un objecte que té un preu nominal de $100 \, \text{euros}$, el seu preu de venda al públic serà, doncs, de $100+21 = 121 \, \text{euros}$. Llavors, d'acord amb la proporció a la qual apunta el percentatge, podrem plantejar la següent igualtat entre raons aritmètiques
    $\dfrac{100}{121}=\dfrac{x}{20,00}$
( $x$ representa el preu nominal corresponent al preu de venda al públic que se'ns dóna )
Resolent aquesta equació de primer grau trobem
    $x=\dfrac{100 \cdot 20,00}{121} \approx 16,52\,\text{euros}$
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De rebajas ...

Enunciat:
Per uns pantalons que estaven rebaixats un $10\,\%$ hem pagat $60,00\, \text{euros}$. Abans de les rebaixes, quin era el preu de venda al públic d'aquest article ?.

Solució:
Interpretem aquest percentatge de descompte ( $10\,\%$ sobre el preu de venda al públic ):
Suposem un objecte que té un preu de venda al públic de $100$ euros i que, en fer-nos una rebaixa de $10$ euros de cada $100$ en total, costa (cal pagar) $100-10 = 90$ euros. Llavors, d'acord amb la proporció a la qual apunta el percentatge, podrem plantejar la següent igualtat entre raons aritmètiques
    $\dfrac{100}{90}=\dfrac{x}{60,00}$
( $x$ representa el preu de venda al públic abans de fer-nos la rebaixa )
Resolent aquesta equació de primer grau trobem
    $x=\dfrac{100 \cdot 60,00}{90} \approx 66,67\,\text{euros}$
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Descuentos proporcionales

Enunciat:
Unes sabates tenen un preu de venda al públic de $40,00\, \text{euros}$. Si a l'hora de pagar ens fan un descompte del $5\,\%$, quant ens costarà ?.

Solució:
Interpretem aquest percentatge de descompte ( $5\,\%$ sobre el preu de venda al públic ):
Suposem un objecte que té un preu de venda al públic de $100$ euros i que, en fer-nos una rebaixa de $5$ euros de cada $100$ en total, costa (cal pagar) $100-5 = 95$ euros. Llavors, d'acord amb la proporció a la qual apunta el percentatge, podrem plantejar la següent igualtat entre raons aritmètiques
    $\dfrac{95}{100}=\dfrac{x}{40,00}$
( $x$ representa la quantitat a pagar )
Resolent aquesta equació de primer grau trobem
    $x=\dfrac{95 \cdot 40,00}{100} = 38,00\,\text{euros}$
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Ejercicio con porcentajes de impuestos

Enunciat:
El preu nominal ( el preu nominal no inclou l'IVA ) d'un article és de
$50,00 \; \text{euro}$. Quin és el preu de venda al públic ( incorporant-hi l'IVA ) ?.

Solució:
Considerarem que l'IVA és del $21\,\%$ ( abril de 2013 ). Del significat d'aquest percentatge deduïm que si el preu nominal fos de $100$ euros, el preu de venda que li correspon és de $100+21=121$ euros. Llavors, en proporció, i designant el preu de venda al públic per $x$, podrem plantejar la següent igualtat entre raons aritmètiques:
    $\dfrac{121}{100}=\dfrac{x}{50,00}$
i resolent aquesta equació de primer grau trobem
    $x=\dfrac{50,00\cdot 121}{100}=60,50 \; \text{euros}$
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Queremos comprar un libro cuyo precio nominal ...

ENUNCIADO:
Queremos comprar un libro cuyo precio nominal es de $10$ euros. Como estamos en época de rebajas, el libro tiene un descuento del $10\,\%$; sin embargo, el vendedor nos tiene que cargar un impuesto por la operación comercial, que es del $10\,\%$ sobre el precio de venta. ¿ Cuánto deberemos pagar ?

SOLUCIÓN:
Con el descuento nos saldría por $10-10\cdot \dfrac{10}{100}=9$ euros ( precio de venta ); sin embargo, al tener que añadir un $10\,\%$ a esa cantidad, en concepto de impuestos, deberemos pagar $9+9\cdot \dfrac{10}{100}=9,9$ euros, esto es, $9$ euros y $90$ céntimos de euro.
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¿Qué tanto por ciento representa el $40\,\%$ del $20\,\%$ de una cierta cantidad?

ENUNCIADO:
¿ Qué tanto por ciento representa el $40\,\%$ del $20\,\%$ de una cierta cantidad ?.

SOLUCIÓN:
Denotando por $c$ dicha cantidad, la parte correspondiente al $40\,\%$ de la misma es $\dfrac{40}{100}\,c$, esto es $\dfrac{2}{5}\,c$.

Entonces, el $20\,\%$ -- que es lo mismo que $\dfrac{1}{5}$ -- de la cantidad parcial calculada es $\dfrac{20}{100} \left( \dfrac{2}{5}\,c \right)$ es igual a
$$\dfrac{1}{5} \left( \dfrac{2}{5}\,c \right) $$
es decir
$$\dfrac{2}{25}\,c$$
que es lo mismo que
$$\dfrac{8}{100}\,c$$

y, por tanto, el tanto por ciento pedido es del $8\,\%$

OBSERVACIÓN:
Con ello vemos que basta con expresar los tantos por ciento en tantos por uno y multiplicar ambos para obtener el tanto por uno resultante:
$$0,4 \cdot 0,2 = 0,08$$
para, a continuación, expresar dicho tanto por uno resultante en tanto por ciento
$$0,08 = \dfrac{8}{100} = 8\,\%$$

Así, si se tratara de calcular el tanto por ciento resultante de una cadena de más de dos tantos por ciento sucesivos de una cierta cantidad, pongamos por ejemplo que el $10\,\%$ del $20\,\%$ del $50\,\%$, el tanto por ciento equivalente seria: $0,10 \cdot 0,20 \cdot 0,50 = 0,02 \cdot 0,50 = 0,10 $ ( en tanto por uno ), luego expresándolo en tanto por cien, esto representa el $10\,\%$.

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Compramos un artículo cuyo precio es de $15$ euros. El vendedor nos hace un descuento del $4\,\%$, pero por la operación comercial, debemos pagar un impuesto del $15\,\%$. ¿Cuánto tendremos que pagar por la adquisición de dicho artículo?

ENUNCIADO:
Compramos un artículo cuyo precio es de $15$ euros. El vendedor nos hace un descuento del $4\,\%$, pero por la operación comercial, debemos pagar un impuesto del $15\,\%$. ¿Cuánto tendremos que pagar por la adquisición de dicho artículo?

SOLUCIÓN:
Con el descuento del $4\,\%$, calcularemos primero la cantidad a pagar, $x$, por el artículo ( sin cargar aún el impuesto ). Planteando la proporción directa
$$\dfrac{100-4}{100}=\dfrac{x}{15}$$
obtenemos $x=\dfrac{96\cdot 15}{100}$, esto es, $x=14,40$ euros.

Ahora, cargamos el impuesto a esa cantidad que acabamos de calcular, para obtener la cantidad de dinero a pagar ( que denotaremos por $y$ ) por la adquisición del artículo:
$$\dfrac{100+15}{100}=\dfrac{y}{14,40}$$
despejando $y$, obtenemos
$$y=\dfrac{115\cdot 14,40}{100}$$
y haciendo las operaciones del segundo miembro,
$$y=16,56 \, \text{euros}$$

COMENTARIO:
También podemos llegar al mismo resultado cambiando el orden de los dos pasos que hemos seguido, pues no depende de ello el resultado de ello; es decir, si calculáramos primero la cantidad a pagar por el impuesto y, sobre dicho resultado parcial, obtuviéramos el descuento, llegaríamos también a la solución.

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Hemos comprado un producto cuyo precio era de $20,00$ euros; sin embargo, hemos tenido que pagar un impuesto, con lo cual hemos tenido que pagar $22,50$ euros. ¿ Qué tanto por ciento representa dicho impuesto sobre el precio base ?

ENUNCIADO:
Hemos comprado un producto cuyo precio era de $20,00$ euros; sin embargo, hemos tenido que pagar, además, un impuesto por dicha operación comercial, con lo cual la cantidad total a pagar ha sido de $22,50$ euros. ¿Qué tanto por ciento representa dicho impuesto sobre el precio base?

SOLUCIÓN:
Como hay una relación de proporcionalidad directa entre el valor a pagar por el impuesto y el valor de base del artículo, denotando por $t$ al tanto por ciento pedido ( porcentaje del impuesto ), podemos escribir la siguiente proporción
$$\dfrac{100+t}{100}=\dfrac{22,50}{20}$$
de donde podemos despejar $t$,
$$t=\dfrac{22,50\cdot 100}{20}-100$$
y, haciendo los cálculos del segundo miembro, obtenemos
$$t=12,5\,\%$$
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Considérese una cierta cantidad. Descontamos un $10\,\%$ de la misma, y la cantidad resultante, la aumentamos un $10\,\%$. ¿Cuál es el porcentaje de variación global?

ENUNCIADO:
Considérese una cierta cantidad. Descontamos un $10\,\%$ de la misma, y la cantidad resultante, la aumentamos un $10\,\%$. ¿Cuál es el porcentaje de variación global?

SOLUCIÓN:
Al descontar un $10\,\%$ de dicha cantidad, nos quedamos con un $(100-10)\,\%=90\,\%$ de la misma, y al aumentar un $10\,\%$ este resultado parcial, obtenemos un $\dfrac{100+10}{100}\cdot \dfrac{90}{100} \,\%$ de la cantidad inicial, esto es, el $99\,\%$. Por lo tanto, el porcentaje de de variación global es de $(100-99) \, \%$, es decir, del $1\,\%$
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Dos ejemplos de utilidad de los porcentajes