RMT - Ejercicio 3 de la semana del 16 al 22 de marzo de 2020 - Proporcionalidad

ENUNCIADO. Aprovechando unas rebajas en las que se hace un 6% de descuento sobre el precio de todos los productos, Elvira ha comprado un electrodoméstico por el cual ha pagado 125 euros. ¿ Cuál es el precio de dicho electrodoméstico ?.

SOLUCIÓN.

proporcionalidad simple y directa ...

Dados $a,b,c,d \in \mathbb{R}$, $b \neq 0$ i $d \neq 0$, demostrar que si ...

Enunciat:
Donats $a,b,c,d \in \mathbb{R}$, on $b \neq 0$ i $d \neq 0$, demostreu que si
    $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$
llavors
    $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+c}{b+d}$

Solució:
Si
    $\dfrac{a}{b}=\dfrac{a+c}{b+d}$
llavors
    $a\,(b+d)=b\,(a+c) \quad \quad \quad (1)$
Semblantment, si
    $\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+c}{b+d}$
llavors
    $c\,(b+d)=d\,(a+c) \quad \quad \quad (2)$
Dividint membre a membre (1) entre (2) podem escriure
    $\dfrac{a\,(b+d)}{c\,(b+d)}=\dfrac{b\,(a+c)}{d\,(a+c)}$
i, simplificant, arribem a
    $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$
$\square$

Nota:
Semblantment,
    $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a-c}{b-d}=\dfrac{-a+c}{-b+d}$


Exemple:
    $\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1+2}{2+4}=\dfrac{1-2}{2-4}=\dfrac{-1+2}{-2+4}$
en efecte
    $\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{-1}{-2}$

¿Qué tanto por ciento representa el $40\,\%$ del $20\,\%$ de una cierta cantidad?

ENUNCIADO:
¿ Qué tanto por ciento representa el $40\,\%$ del $20\,\%$ de una cierta cantidad ?.

SOLUCIÓN:
Denotando por $c$ dicha cantidad, la parte correspondiente al $40\,\%$ de la misma es $\dfrac{40}{100}\,c$, esto es $\dfrac{2}{5}\,c$.

Entonces, el $20\,\%$ -- que es lo mismo que $\dfrac{1}{5}$ -- de la cantidad parcial calculada es $\dfrac{20}{100} \left( \dfrac{2}{5}\,c \right)$ es igual a
$$\dfrac{1}{5} \left( \dfrac{2}{5}\,c \right) $$
es decir
$$\dfrac{2}{25}\,c$$
que es lo mismo que
$$\dfrac{8}{100}\,c$$

y, por tanto, el tanto por ciento pedido es del $8\,\%$

OBSERVACIÓN:
Con ello vemos que basta con expresar los tantos por ciento en tantos por uno y multiplicar ambos para obtener el tanto por uno resultante:
$$0,4 \cdot 0,2 = 0,08$$
para, a continuación, expresar dicho tanto por uno resultante en tanto por ciento
$$0,08 = \dfrac{8}{100} = 8\,\%$$

Así, si se tratara de calcular el tanto por ciento resultante de una cadena de más de dos tantos por ciento sucesivos de una cierta cantidad, pongamos por ejemplo que el $10\,\%$ del $20\,\%$ del $50\,\%$, el tanto por ciento equivalente seria: $0,10 \cdot 0,20 \cdot 0,50 = 0,02 \cdot 0,50 = 0,10 $ ( en tanto por uno ), luego expresándolo en tanto por cien, esto representa el $10\,\%$.

$\square$

Compramos un artículo cuyo precio es de $15$ euros. El vendedor nos hace un descuento del $4\,\%$, pero por la operación comercial, debemos pagar un impuesto del $15\,\%$. ¿Cuánto tendremos que pagar por la adquisición de dicho artículo?

ENUNCIADO:
Compramos un artículo cuyo precio es de $15$ euros. El vendedor nos hace un descuento del $4\,\%$, pero por la operación comercial, debemos pagar un impuesto del $15\,\%$. ¿Cuánto tendremos que pagar por la adquisición de dicho artículo?

SOLUCIÓN:
Con el descuento del $4\,\%$, calcularemos primero la cantidad a pagar, $x$, por el artículo ( sin cargar aún el impuesto ). Planteando la proporción directa
$$\dfrac{100-4}{100}=\dfrac{x}{15}$$
obtenemos $x=\dfrac{96\cdot 15}{100}$, esto es, $x=14,40$ euros.

Ahora, cargamos el impuesto a esa cantidad que acabamos de calcular, para obtener la cantidad de dinero a pagar ( que denotaremos por $y$ ) por la adquisición del artículo:
$$\dfrac{100+15}{100}=\dfrac{y}{14,40}$$
despejando $y$, obtenemos
$$y=\dfrac{115\cdot 14,40}{100}$$
y haciendo las operaciones del segundo miembro,
$$y=16,56 \, \text{euros}$$

COMENTARIO:
También podemos llegar al mismo resultado cambiando el orden de los dos pasos que hemos seguido, pues no depende de ello el resultado de ello; es decir, si calculáramos primero la cantidad a pagar por el impuesto y, sobre dicho resultado parcial, obtuviéramos el descuento, llegaríamos también a la solución.

$\square$

En unas rebajas, todos los productos están rebajados en un $5\,\%$. Hemos comprado un libro por el que hemos tenido que pagar $10$ euros. ¿Cuánto hubiésemos tenido que pagar antes de las rebajas?

ENUNCIADO:
En unas rebajas, todos los productos están rebajados en un $5\,\%$. Hemos comprado un libro por el que hemos tenido que pagar $10$ euros. ¿Cuánto hubiésemos tenido que pagar antes de las rebajas?

SOLUCIÓN:
Teniendo en cuenta que hay una proporción directa entre la cantidad a pagar ( que denotamos por $Y$ ) y el precio del libro ( que denotamos por $X$ ), podemos plantear la siguiente proporción
$$\dfrac{y_1}{x_1}=\dfrac{y_2}{x_2}$$
y con los datos del problema
$$\dfrac{100-5}{100}=\dfrac{10}{x}$$
esto es
$$\dfrac{100}{95}=\dfrac{x}{10}$$
despejando $x$,
$$x=\dfrac{100 \cdot 10}{95}$$
y haciendo los cálculos del segundo miembro obtenemos
$$x \approx 10,53 \, \text{euros}$$
$\square$

Llenando un depósito con dos conducciones