Dados $a,b,c,d \in \mathbb{R}$, $b \neq 0$ i $d \neq 0$, demostrar que si ...

Enunciat:
Donats $a,b,c,d \in \mathbb{R}$, on $b \neq 0$ i $d \neq 0$, demostreu que si
    $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$
llavors
    $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+c}{b+d}$

Solució:
Si
    $\dfrac{a}{b}=\dfrac{a+c}{b+d}$
llavors
    $a\,(b+d)=b\,(a+c) \quad \quad \quad (1)$
Semblantment, si
    $\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+c}{b+d}$
llavors
    $c\,(b+d)=d\,(a+c) \quad \quad \quad (2)$
Dividint membre a membre (1) entre (2) podem escriure
    $\dfrac{a\,(b+d)}{c\,(b+d)}=\dfrac{b\,(a+c)}{d\,(a+c)}$
i, simplificant, arribem a
    $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$
$\square$

Nota:
Semblantment,
    $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a-c}{b-d}=\dfrac{-a+c}{-b+d}$


Exemple:
    $\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1+2}{2+4}=\dfrac{1-2}{2-4}=\dfrac{-1+2}{-2+4}$
en efecte
    $\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{-1}{-2}$