División de un segmento en partes proporcionales

Considerem un segment $\overline{AB}$ i la seva longitud, com a magnitud. Suposem que la longitud d'aquest segment és de cinc unitats de longitud ($5$ u. de l.) Situem a continuació un punt $P$ entre els dos extrems de tal manera que el divideixi en dues parts $\overline{AP}$ i $\overline{PB}$: la primera, $a$, de longitud igual, per exemple, a $2$, i, la segona, $b$, de longitud igual, per exemple, a $3$.

Entenem aquí per raó (aritmètica) de les quantitats $3$ i $2$ (de la magnitud longitud), el nombre de vegades que la longitud $\overline{PB}$ - considerant-la com un nou patró de mesura - abasta la longitud $\overline{AP}$, és a dir,
$\dfrac{3}{2}$

A continuació, considerem també un altre segment $\overline{A'B'}$, de longitud igual, per exemple, a $15$ u. de l. Imaginem-lo dividit en dues parts $a'$ i $b'$, que guardin la mateixa proporció que les del segment $\overline{AB}$. Per això, plantejarem la proporció, és a dir, la igualtat entre les dues raons aritmètiques:
    $\dfrac{a}{b}=\dfrac{a'}{b'}$

és a dir,
    $\dfrac{2}{3}=\dfrac{a'}{15-a'}$
D'aquí trobarem que
    $a' = 6$ u. de l.
I, per tant, que
    $b' = 15 -6 = 9$ u. de l.
$\square$