Fracciones equivalentes

Enunciat:
Donats els nombres racionals equivalents $\frac{a}{b}$ i $\frac{c}{d}$, justifiqueu la següent propietat:
                $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+c}{b+d}$

Solució:
Si
$\dfrac{a}{b}=\dfrac{a+c}{b+d}$
llavors,
$a\,(b+d)=b\,(a+c)$
és a dir
$a\,b+a\,d=b\,a+b\,c$
i, donat que $a\,b=b\,a$
la igualt anterior és equivalent a
$a\,b+a\,d=a\,b+b\,c$
Sumant $-a\,b$ a cada membre queda
$-a\,b+a\,b+a\,d=-a\,b+a\,b+b\,c$
i simplificant,
$a\,d=b\,c$
Finalment, dividint ambdós membres de la igualtat per $b\,d$ ens queda
$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$
Hem acabat.

Exemple:
Si
$\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{6}$
llavors
$\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2+4}{3+6}$
        $=\dfrac{6}{9}$

Comentari:
També es compleix que
$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a-c}{b-d}=\dfrac{c-a}{d-b}$

Exemple:
$\dfrac{24}{15}=\dfrac{8}{5}=\dfrac{16}{10}=\dfrac{-16}{-10}$

Observació:
Atenció, però. Tingueu en compte que a partir de
      $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$
no es pot caure en la temptació d'escriure coses errònies; per exemple, cal tenir en compte que
      $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \neq \dfrac{a\,c}{b\,d}$

Exemple:
$\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{6} \neq \dfrac{2 \cdot 4}{3 \cdot 6}$

$\square$