RMT - Ejercicio 2 de la semana del 23 al 29 de marzo de 2020 - aplicaciones de las fracciones

ENUNCIADO. Un depósito de agua está medio lleno. Juan añade una tercera parte la cantidad que contiene, y, a continuación, Merche repone una cantidad de agua igual a una quina parte de la capacidad del depósito. Luego, Andrés vacía el depósito tal como la ha dejado Merche, llevándose 26 L de agua. ¿ Qué capacidad tiene el depósito ?

NOTA 1. Si estás ulitilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

SOLUCIÓN.

RMT - Ejercicio 1 de la semana del 23 al 29 de marzo de 2020 - operaciones combinadas con fracciones

ENUNCIADO. Efectúa la siguiente operación combinada, calculando la fracción reducida resultante $$\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{6}{5}-\dfrac{7}{10}+\dfrac{3}{4}-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2$$

NOTA 1. Si estás ulitilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

SOLUCIÓN.

Fracciones equivalentes y no-equivalentes

ENUNCIADO. ¿ Son equivalentes las fracciones $\dfrac{111}{112}$ y $\dfrac{112}{113}$ ?.
Razónese la respuesta.

SOLUCIÓN. Para que dos fracciones sean equivalentes es necesario que el producto de medios sea igual al producto de extremos. Sin embargo es evidente que $111 \cdot 113 \neq 112 \cdot 112 $, luego las fracciones pedidas no son equivalentes, y se escribe $$\dfrac{111}{112} \neq \dfrac{112}{113}$$
$\square$

[autoría]

Simplificación de fracciones

ENUNCIADO. Calcular la fracción irreducible resultante:
a) $\dfrac{2}{3}-\dfrac{5}{18}+\dfrac{1}{12}$
b) $\dfrac{7}{4}\cdot \dfrac{8}{14}$
c) $\dfrac{9}{5}\div \dfrac{81}{125}$

SOLUCIÓN.

a)

$\dfrac{2}{3}-\dfrac{5}{18}+\dfrac{1}{12}=$

  $=\dfrac{2\cdot (36\div 3)}{36}-\dfrac{5 \cdot ( 36 \div 18) }{36}+\dfrac{1\cdot ( 36\div 12)}{36}$ ( reduciendo a común denominador; el mínimo común múltiplo de los denominadores es $36$.)

    $=\dfrac{24}{36}-\dfrac{10 }{36}+\dfrac{3}{36}$

      $=\dfrac{24}{36}+\dfrac{(-10) }{36}+\dfrac{3}{36}$

        $=\dfrac{24+(-10)+3}{36}$

          $=\dfrac{24+(-10)+3}{36}$

            $=\dfrac{17}{36}$

b)

$\dfrac{7}{4}\cdot \dfrac{8}{14}=$

  $=\dfrac{7 \cdot 8}{4 \cdot 14}$

    $=\dfrac{8 \cdot 7}{4 \cdot 14}$

      $=\dfrac{8}{4}\cdot \dfrac{7}{14}$

        $=2\cdot \dfrac{1}{2}$

          $=1$

c)

$\dfrac{9}{5}\div \dfrac{81}{125}=$

  $=\dfrac{9}{5} \cdot \text{inverso}\left( \dfrac{81}{125}\right)$

    $=\dfrac{9}{5}\div \dfrac{125}{81}$

    $=\dfrac{9\cdot 125}{5 \cdot 81}$

      $=\dfrac{125}{5}\cdot \dfrac{9}{81}$

        $=25\cdot \dfrac{1}{9}$

          $=\dfrac{25}{9}$

$\square$

[autoría]

Ordenación de fracciones

ENUNCIADO. Ordenar de menor a mayor las siguientes fracciones, sin recurrir a sus expresiones decimales:
$$\lbrace \,\dfrac{3}{4}\,,\,\dfrac{2}{3}\,,\,\dfrac{4}{3}\,,\,\dfrac{4}{5}\,,\,\dfrac{3}{2} \, \rbrace$$

ENUNCIADO. Para comparar las fracciones, procedemos a reducirlas a común denominador ( encontramos una fracción equivalente, a cada una, que tenga el mismo denominador ), de este modo, bastará ordenar los nuevos numeradores para que dicho orden determine el orden de las fracciones respectivas. Calculemos, pues, el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones dadas $$\text{m.c.m}(2,3,4,5)=60$$

Así,

$\dfrac{3}{4}=\dfrac{3\cdot 15}{60}=\dfrac{45}{60}$

$\dfrac{2}{3}=\dfrac{2\cdot 20}{60}=\dfrac{40}{60}$

$\dfrac{4}{3}=\dfrac{4\cdot 20}{60}=\dfrac{80}{60}$

$\dfrac{4}{5}=\dfrac{4\cdot 12}{60}=\dfrac{48}{60}$

$\dfrac{3}{2}=\dfrac{3\cdot 30}{60}=\dfrac{90}{60}$

Por tanto, $$\dfrac{2}{3} \prec \dfrac{3}{4} \prec \dfrac{4}{5} \prec \dfrac{4}{3} \prec \dfrac{3}{2} $$

$\square$

[autoría]

Expresión decimal de una fracción

ENUNCIADO. Expresar las siguientes fracciones ( de números enteros ) en forma decimal y decir si se trata de un número decimal exacto, periódico puro, o bien periódico mixto:
a) $\dfrac{4}{9}$
b) $\dfrac{8}{11}$
c) $\dfrac{6}{13}$
d) $\dfrac{97}{90}$

SOLUCIÓN.

Realizando la división decimal del numerador entre el denominador, de cada fracción:

a) $\dfrac{4}{9}=0,\overline{4}$   ( número decimal periódico puro )

b) $\dfrac{8}{11}=0,\overline{561538}$   ( número decimal periódico puro )

d) $\dfrac{97}{90}=1,0\,\overline{7}$   ( número decimal periódico mixto )

$\square$

[autoría]

Hemos recorrido tres cuartas partes de ...

ENUNCIADO. Hemos recorrido tres cuartas partes de un camino, y aún nos quedan $2$ quilómetros para llegar. Se pide:
a) ¿ Qué fracción del camino nos queda por recorrer ?
b) ¿ Qué longitud de camino hemos recorrido ?
c) ¿ Cuál es la longitud total del camino ?

SOLUCIÓN.
a) Si hemos recorrido tres cuartas partes del camino, nos queda por recorrer $\dfrac{4}{4}-\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{4}$ del camino
c) Denotando por $x$ la longitud del camino, debe cumplirse la siguiente equivalencia $$\dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{x}$$ con lo cual $$1 \cdot x = 2 \cdot 4$$ esto es $$x=8\,\text{km}$$
b) Como el camino tiene una longitud de $8 \, \text{km}$ y faltan $2\, \text{km}$ por recorrer, hemos recorrido ya $8-2=6\, \text{km}$
$\square$

[autoría]

Operar con fracciones

ENUNCIADO:
Efectuar las siguientes operaciones con fracciones:
a) $\dfrac{2}{3}-\dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{2}$

b) $\dfrac{4}{9}\cdot \dfrac{3}{2}$

c) $\dfrac{6}{12}\div \dfrac{3}{4}$

d) $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{3}-\dfrac{1}{3}$

SOLUCIÓN:

a)
$\dfrac{2}{3}-\dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{2}=$

    $=\dfrac{4}{6}-\dfrac{5}{6}+\dfrac{3}{6}$ ( reduciendo a común denominador )

    $=\dfrac{4-5+3}{6}$ ( operando los numeradores )

    $=\dfrac{2}{6}$ ( simplificando ...)

    $=\dfrac{1}{3}$

b)

$\dfrac{4}{9}\cdot \dfrac{3}{2}=\dfrac{4 \cdot 3}{9 \cdot 2} = \dfrac{4 \cdot 3}{2 \cdot 9}=\dfrac{2 \cdot 1}{1 \cdot 3}=\dfrac{2}{3}$

c)

$\dfrac{6}{12}\div \dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{2}\div \dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{2}\cdot \text{inv}\left( \dfrac{3}{4}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{4}{3} = \dfrac{1 \cdot 4}{2 \cdot 3}= \dfrac{4 \cdot 1}{2 \cdot 3} = \dfrac{2 \cdot 1}{1 \cdot 3} =\dfrac{2}{3}$

d)

$\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{3}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1 \cdot 4 }{2 \cdot 3} - \dfrac{1}{3}=\dfrac{4 \cdot 1}{2 \cdot 3} - \dfrac{1}{3}=\dfrac{2 \cdot 1}{1 \cdot 3} - \dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}$

$\square$

Calcular la fracción resultante ...

Enunciat:
Efectueu la següent operació amb fraccions:
      $\big(\dfrac{5}{12}-\dfrac{7}{30}+\dfrac{1}{2}\div \dfrac{3}{4}\big)\cdot \dfrac{60}{5}$

Solució:
Primer de tot, simplifiquem les fraccions que siguin reductibles:
    $\dfrac{60}{5}=12$
i tornem a escriure l'expressió numèrica equivalent
      $\big(\dfrac{5}{12}-\dfrac{7}{30}+\dfrac{1}{2}\div \dfrac{3}{4}\big)\cdot 12$
A continuació, respectant la prioritat de les operacions, efectuem primer les que hi ha dins del parèntesi, per tant, efectuem en primer lloc la divisió
    $\dfrac{1}{2}\div \dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{2}\cdot \text{inv}\big(\dfrac{3}{4}\big)=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{4}{3}=\dfrac{1\cdot 4}{2 \cdot 3}=\dfrac{4}{2}\cdot \dfrac{1}{3}=2 \cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$
Posem aquest resultat a la línia principal del càlcul i continuem
      $\big(\dfrac{5}{12}-\dfrac{7}{30}+\dfrac{1}{2}\div \dfrac{3}{4}\big)\cdot 12$
        $=\big(\dfrac{5}{12}-\dfrac{7}{30}+\dfrac{2}{3}\big)\cdot 12$
A continuació, continuem fent les operacions del parèntesi, que són sumes i restes, per tant reduïm a comú denominador ( $ \text{m.c.m}(12,30,3)=60$ ) i trobem que
      $\dfrac{5}{12}-\dfrac{7}{30}+\dfrac{1}{2}$
        $=\dfrac{5 \cdot (60 \div 12)}{60}-\dfrac{7 \cdot (60 \div 30) }{30}+\dfrac{1 \cdot ( 60 \div 2)}{2}$
        $=\dfrac{25}{60}-\dfrac{14}{60}+\dfrac{40}{60}$
        $=\dfrac{25-14+40}{60}$
        $=\dfrac{51}{60}$
        $=\dfrac{17}{30}$
Posem aquest resultat a la línia principal del càlcul i continuem
      $\big(\dfrac{5}{12}-\dfrac{7}{30}+\dfrac{2}{3}\big)\cdot 12$
        $=\dfrac{17}{20}\cdot 12$
        $=17\cdot \dfrac{12}{20}$
        $=17\cdot \dfrac{3}{5}$
        $=\dfrac{51}{5}$
$\square$

Fracciones equivalentes

Enunciat:
Donats els nombres racionals equivalents $\frac{a}{b}$ i $\frac{c}{d}$, justifiqueu la següent propietat:
                $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+c}{b+d}$

Solució:
Si
$\dfrac{a}{b}=\dfrac{a+c}{b+d}$
llavors,
$a\,(b+d)=b\,(a+c)$
és a dir
$a\,b+a\,d=b\,a+b\,c$
i, donat que $a\,b=b\,a$
la igualt anterior és equivalent a
$a\,b+a\,d=a\,b+b\,c$
Sumant $-a\,b$ a cada membre queda
$-a\,b+a\,b+a\,d=-a\,b+a\,b+b\,c$
i simplificant,
$a\,d=b\,c$
Finalment, dividint ambdós membres de la igualtat per $b\,d$ ens queda
$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$
Hem acabat.

Exemple:
Si
$\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{6}$
llavors
$\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2+4}{3+6}$
        $=\dfrac{6}{9}$

Comentari:
També es compleix que
$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a-c}{b-d}=\dfrac{c-a}{d-b}$

Exemple:
$\dfrac{24}{15}=\dfrac{8}{5}=\dfrac{16}{10}=\dfrac{-16}{-10}$

Observació:
Atenció, però. Tingueu en compte que a partir de
      $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$
no es pot caure en la temptació d'escriure coses errònies; per exemple, cal tenir en compte que
      $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \neq \dfrac{a\,c}{b\,d}$

Exemple:
$\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{6} \neq \dfrac{2 \cdot 4}{3 \cdot 6}$

$\square$

Operaciones combinadas ...

Enunciado:
1. Calcule el número entero resultante:
  a) $4\cdot ( 2 \cdot 3 -1)^2$

2. Calcule y exprese el resultado en forma de fracción ( simplificada ):
  b) $\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{5}{8}$
  c) $\dfrac{7}{2}\cdot \dfrac{4}{21}$
  d) $\dfrac{9}{2}\div \dfrac{3}{8}$

Solución:

$\square$