Fracciones equivalentes y no-equivalentes

ENUNCIADO. ¿ Son equivalentes las fracciones $\dfrac{111}{112}$ y $\dfrac{112}{113}$ ?.
Razónese la respuesta.

SOLUCIÓN. Para que dos fracciones sean equivalentes es necesario que el producto de medios sea igual al producto de extremos. Sin embargo es evidente que $111 \cdot 113 \neq 112 \cdot 112 $, luego las fracciones pedidas no son equivalentes, y se escribe $$\dfrac{111}{112} \neq \dfrac{112}{113}$$
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[autoría]

Hemos recorrido tres cuartas partes de ...

ENUNCIADO. Hemos recorrido tres cuartas partes de un camino, y aún nos quedan $2$ quilómetros para llegar. Se pide:
a) ¿ Qué fracción del camino nos queda por recorrer ?
b) ¿ Qué longitud de camino hemos recorrido ?
c) ¿ Cuál es la longitud total del camino ?

SOLUCIÓN.
a) Si hemos recorrido tres cuartas partes del camino, nos queda por recorrer $\dfrac{4}{4}-\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{4}$ del camino
c) Denotando por $x$ la longitud del camino, debe cumplirse la siguiente equivalencia $$\dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{x}$$ con lo cual $$1 \cdot x = 2 \cdot 4$$ esto es $$x=8\,\text{km}$$
b) Como el camino tiene una longitud de $8 \, \text{km}$ y faltan $2\, \text{km}$ por recorrer, hemos recorrido ya $8-2=6\, \text{km}$
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[autoría]

¿ Cuál es el valor que debe tener $x$ para que las fracciones $\dfrac{2}{5}$ y $\dfrac{4}{x}$ sean equivalentes ?.

Enunciado:
¿ Cuál es el valor que debe tener $x$ para que las fracciones $\dfrac{2}{5}$ y $\dfrac{4}{x}$ sean equivalentes ?.

Resolución:
$\dfrac{2}{5}$ y $\dfrac{4}{x}$ son equivalentes si y sólo si $\dfrac{2}{5}=\dfrac{4}{x}$, si y sólo si $2\,x=5\cdot 4$. Resolvamos, pues, esta ecuación:
$2\,x=5\cdot 4$

  $2\,x=4\cdot 5$

  $\dfrac{1}{2}\cdot 2\,x=\dfrac{1}{2}\cdot 4\cdot 5$

    $\dfrac{1 \cdot 2}{2}\,x=\dfrac{1 \cdot 4}{2} \cdot 5$

    $\dfrac{2}{2}\,x=\dfrac{4}{2} \cdot 5$

      $1\cdot x=2 \cdot 5$

        $x=10$

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[nota del autor]