Resolviendo ecuaciones de primer grado con una incógnita

ENUNCIADO. Resolver las siguientes ecuaciones:
a) $2\,(x-1)=5\,(x+1)$
b) $\dfrac{3}{x+1}=\dfrac{2}{1-x}$

SOLUCIÓN.
a)
$2\,(x-1)=5\,(x+1)$

  $2x-2=5x+5$

    $-2+(-5)=5x+(-2x)$

      $-2-5=5x-2x$

        $-7=3x$

          $x=\dfrac{-7}{3}$

            $x=-\dfrac{7}{3}$

b)
$\dfrac{3}{x+1}=\dfrac{2}{1-x} \Leftrightarrow 3\,(1-x)=2\,(x+1)$

  $3-3\,x=2x+2$

    $3+(-2)=2x-(-3x)$

      $3-2=2x+3x$

        $1=5x$

          $x=\dfrac{1}{5}$

$\square$

Ecuaciones de primer grado

ENUNCIADO. Resolver las siguientes ecuaciones:

a) $3\,(1-x)=4\,(x+4)$

b) $\dfrac{5}{x}=\dfrac{2}{3+x}$

SOLUCIÓN.

a)
$3\,(1-x)=4\,(x+4)$

  $3\cdot 1 -3\, x=4\,x+4\cdot 4$

    $3 -3\, x=4\,x+16$

      $3 -16=4\,x+3\,x$

        $-13=7\,x$

          $x=\dfrac{-13}{7}=-\dfrac{13}{7}$

b)
$\dfrac{5}{x}=\dfrac{2}{3+x}$

  $5\cdot (3+x)=2\,x$

    $5\cdot 3+5\,x=2\,x$

      $15+5\,x=2\,x$

        $5\,x-2\,x=-15$

          $3\,x=-15$

            $x=\dfrac{-15}{3}=-\dfrac{15}{3}=-5$

$\square$

Plantear y resolver

ENUNCIADO. Si a un número se le resta su tercera parte se obtiene el número $352$. ¿ De qué número estamos hablando ?

SOLUCIÓN.

Ecuaciones de primer grado

ENUNCIADO. Resolver la siguiente ecuación de primer grado $$2\,x+5=1-3\,x$$

SOLUCIÓN.

Resolver

ENUNCIADO. Resolver las siguientes ecuaciones:
a) $2x-1=4-7x$
b) $3\,(1-x)=4+5\,x$

SOLUCIÓN.
a)
$2x-1=4-7x$
  $2x+7x=4+1$
    $9x=5$
      $x=\dfrac{5}{9}$

b)
$3\,(1-x)=4+5\,x$
  $3 \cdot 1-3\,x=4+5\,x$
    $3-3\,x=4+5\,x$
      $3-4=5\,x+3\,x$
        $-1=8\,x$
          $x=\dfrac{-1}{8}=-\dfrac{1}{8}$
$\square$

Plantear mediante el álgebra y resolver

ENUNCIADO. En una librería, Ana compra un libro con la tercera parte de su dinero y un cómic con las dos terceras partes de lo que le quedaba. Al salir de la librería tenía $12$ euros. ¿Cuánto dinero tenía Ana antes de hacer su compra ?.

SOLUCIÓN.
Llamemos $x$ a la cantidad de dinero que tenía Ana antes de entrar en la librería. Entonces, $$x=\dfrac{x}{3}+\dfrac{2}{3}\,(x-\dfrac{x}{3})+12$$
Resolviendo esta ecuación:
$x=\dfrac{x}{3}+\dfrac{2}{3}\,(x-\dfrac{x}{3})+12$
  $x=\dfrac{x}{3}+\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{2}{3}\,x+12$
    $x=\dfrac{x}{3}+\dfrac{4}{9}\,x+12$
      $9x=9\cdot \dfrac{x}{3}+9\cdot \dfrac{4}{9}\,x+9\cdot 12$
        $9x=3x+4x+108$
          $9x-3x-4x=108$
            $2x=108$
              $x=108/2=54\;\text{euros}$
$\square$

Plantear y resolver

ENUNCIADO. El largo de un marco rectangular es el doble del ancho. ¿ Cuáles son sus dimensiones si el perímetro mide $30$ centímetros ?

SOLUCIÓN.
Denotemos por $x$ el ancho del marco, entonces
$$2\,(2x+x)=30$$
Resolvamos la ecuación:
$2\,(2x+x)=30$
  $2x+x=15$
    $3x=15$
      $x=15/3=5 \; \text{cm}$
luego el largo es igual a $2x=2\cdot 5=10\;\text{cm}$
$\square$

Platear y resolver el siguiente problema

ENUNCIADO. Si al doble de un número se le resta su mitad resulta el número $54$. ¿ De qué número estamos hablando ?

SOLUCIÓN.
Denotemos por $x$ el número pedido. Entonces, $$2x-\dfrac{x}{2}=54$$
Resolvamos, ahora, la ecuación:
$2x-\dfrac{x}{2}=54$
  $2\cdot 2x-2\cdot \dfrac{x}{2}=2\cdot 54$
    $4x-x=108$
      $3x=108$
        $x=\dfrac{108}{3}$
          $x=36$
$\square$

Resolver las ecuaciones de primer grado

ENUNCIADO. Resolver las siguientes ecuaciones de primer grado:
a) $2\,x+5=1-3\,x$
b) $\dfrac{x+1}{3}-\dfrac{5}{18}=\dfrac{x+1}{12}$

SOLUCIÓN.
a)
$2\,x+5=1-3\,x$
  $2\,x+4\,x=1-5$
    $6\,x=-4$
      $x=\dfrac{-4}{6}$
        $x=-\dfrac{4}{6}$
          $x=-\dfrac{2}{3}$

b)
$\dfrac{x+1}{3}-\dfrac{5}{18}=\dfrac{x+1}{12}$
Multiplicando en ambos miembros por $\text{m.c.m}(3,18,12)=\text{m.c.m}(3,2\cdot 3^2,2^2\cdot 3)=2^2\cdot 3^2=36$, obtenemos la siguiente ecuación equivalente
  $36\cdot \dfrac{x+1}{3}-36\cdot\dfrac{5}{18}=36\cdot\dfrac{x+1}{12}$
    $12\cdot(x+1)-2\cdot 5=3\cdot (x+1)$
      $12\,x+12-10=3\,x+3$
        $12\,x-3\,x=3-12+10$
          $9\,x=1$
            $x=\dfrac{1}{9}$
$\square$

Ecuaciones de primer grado con coeficientes fraccionarios ...

Resoleu l'equció:
    $\dfrac{2}{15}\,x+\dfrac{1}{12}=\dfrac{7}{75}-\dfrac{5}{36}\,x$

Solució:
  Procediment A:
Observem que es tracta d'una equació de primer grau amb una incògnita i amb coeficients fraccionaris. Multiplicant ambdós membres de la igualtat pel mínim comú múltiple del conjunt de denominadors dels coeficients, i, simplificant, obtindrem una equació equivalent amb coeficients enters, que serà més senzilla.

Calculem el mínim comú múltiple dels denominadors de dels coeficients
    $\{\dfrac{2}{15}\,,\,\dfrac{1}{12}\,\,,\,\dfrac{7}{75}\,,\,\dfrac{5}{36}\}$
i obtenim
$\text{m.c.m}(15,12,75,36)=3^2\cdot 5^2 \cdot 2^2 = 900$
Multiplicant els dos membres de l'equació per aquest nombre podrem escriure l'equació equivalent
    $900\cdot \dfrac{2}{15}\,x+900\cdot \dfrac{1}{12}=900\cdot \dfrac{7}{75}-900\cdot \dfrac{5}{36}\,x$
que, simplificant, queda
    $120\,x+75=84-125\,x$
Agrupant, ara, els termes semblants a un i altre membre de la igualtat arribem a
    $120\,x+125\,x=84-75$
i, operant, s'obté
    $245\,x=9$
d'on, aïllant la incògnita s'arriba al valor d'aquesta que satisfà al igualtat plantejada
    $x=\dfrac{9}{245}$
$\square$

  Variant del procediment A:
Reduïm a comú denominador els coeficients fraccionaris:
    $\{\dfrac{2}{15}\,,\,\dfrac{1}{12}\,\,,\,\dfrac{7}{75}\,,\,\dfrac{5}{36}\}$
obtenint el conjunt de fraccions de denominador comú
    $\{\dfrac{2 \cdot (900 \div 15)}{900}\,,\,\dfrac{1 \cdot (900 \div 12)}{900}\,\,,\,\dfrac{7 \cdot (900 \div 75)}{900}\,,\,\dfrac{5 \cdot (900 \div 36)}{900}\}$
que, fent les operacions, són
    $\{\dfrac{120}{900}\,,\,\dfrac{75)}{900}\,\,,\,\dfrac{84}{900}\,,\,\dfrac{125}{900}\}$
En substituir els coeficients originals pels corresponents equivalents que acabem de calcular podrem escriure l'equació original de la forma
    $\dfrac{120}{900}\,x+\dfrac{75}{900}=\dfrac{84}{900}-\dfrac{125}{900}\,x$
és a dir
    $\dfrac{120\,x+75}{900}=\dfrac{84-125\,x}{900}$
i multiplicant per $900$ a cada membre
    $900\ cdot \dfrac{120\,x+75}{900}=900\,\dfrac{84-125\,x}{900}$
podrem simplificar i escriure-la de la manera següent
    $120\,x+75=84-125\,x$
i, finalment, agrupant els termes semblants a cada costat de l'igual
    $120\,x+125\,x=84-75$
que, per la propietat distributiva de la multiplicació respecte de la suma, és equivalent a
    $(120+125)\,x=84-75$
operant s'obté
    $245\,x=9$
i, dividint ambdós membres per $245$
    $\dfrac{245\,x}{245}=\dfrac{9}{245}$
i simplificant, ens quedarà aïllada la incògnita
    $x=\dfrac{9}{245}$
$\square$

  Procediment B:
Operarem, ara, amb nombres fraccionaris i, per tant, agrupem ja els termes semblants a cada membre de la igualtat. A partir de l'equació original
    $\dfrac{2}{15}\,x+\dfrac{1}{12}=\dfrac{7}{75}-\dfrac{5}{36}\,x$
podem escriure
    $\dfrac{2}{15}\,x+\dfrac{5}{36}\,x=\dfrac{7}{75}-\dfrac{1}{12}$
i, per la propietat distributiva del producte respecte de la suma, ho podem posar així
    $\big(\dfrac{2}{15}+\dfrac{5}{36}\big)\,x=\big(\dfrac{7}{75}-\dfrac{1}{12}\big)$
a partir d'aquí, sumant els coeficients fraccionaris; s'obté
    $\dfrac{49}{180}\,x=\dfrac{1}{100}$
és a dir
    $\dfrac{49}{18}\,x=\dfrac{1}{10}$
i aïllant la incògnita arribem a
    $x=\dfrac{\frac{1}{10}}{\frac{49}{18}}$
i efectuant el quocient de les fraccions trobem
            $x=\dfrac{18}{490}$
resultat que, simplificat, queda
            $x=\dfrac{9}{245}$
$\square$

Nota 1: Per comprovar que el resultat és obtingut cal substituir-lo a l'equació original i mirar si les quantitats que s'obtenen a cada membre són iguals. Vegem-ho.
L'equació original és
    $\dfrac{2}{15}\,x+\dfrac{1}{12}=\dfrac{7}{75}-\dfrac{5}{36}\,x$
Substituint, trobem que el primer membre és igual a
    $\dfrac{2}{15}\cdot \dfrac{9}{245}+\dfrac{1}{12}$
que, operant, queda
            $\dfrac{1297}{14700}$
i que el segon membre té el següent valor
    $\dfrac{7}{75}-\dfrac{5}{36}\cdot \dfrac{9}{245}$
que també és igual a
            $\dfrac{1297}{14700}$
Per tant, queda comprovat el resultat obtingut.

Nota 2: En general, no és convenient operar amb les expressions decimals dels coeficients fraccionaris dels termes de l'equació, per vàries raons: a) les expressions decimal d'aquests coeficients fraccionaris són de tipus decimal periòdic:

  $\dfrac{2}{15}=0,1\bar{3}$
  $\dfrac{1}{12}=0,08\bar{3}$
  $\dfrac{7}{75}=0,09\bar{3}$
  $\dfrac{5}{36}=0,13\bar{8}$

Per tant, ens veuríem obligats a fer aproximacions; és a dir, no obtindríem el resultat exacte ans un d'aproximat la qual cosa, en aquest exercici és innecessari i, doncs, inacceptable; b) treballar amb expressions decimals és gairebé sempre més farragós i feixuc que fer ús del càlcul amb fraccions (que podem realitzar amb les funcions de càlcul fraccionari de la calculadora científica bàsica ).

Resuelva las siguientes ecuaciones

Enunciado:
Resuelva las siguientes ecuaciones:

  a) $x-1=3\,(1-x)$

  b) $x^2+2\,x+1=0$

  c) $\left\{\begin{matrix}
x & + & y &=1\\
x & - & y &=1\\
\end{matrix}\right.$
  d) $\dfrac{1}{2}-\dfrac{x}{3}=\dfrac{x}{6}$

Solución:

$\square$

Resolver la siguiente ecuación: $$ \dfrac{x-1}{4}=\dfrac{3}{2}-\dfrac{x}{16}$$

Enunciado:
Resolver la siguiente ecuación: $$ \dfrac{x-1}{4}=\dfrac{3}{2}-\dfrac{x}{16}$$

Solución:

$\square$

[nota del autor]

Resolver $\dfrac{x}{5}+\dfrac{3}{10}=\dfrac{1-x}{15}-\dfrac{x+3}{30}$

Enunciado:
Resolver:
$$\dfrac{x}{5}+\dfrac{3}{10}=\dfrac{1-x}{15}-\dfrac{x+3}{30}$$

Resolución:
  $\dfrac{x}{5}+\dfrac{3}{10}=\dfrac{1-x}{15}-\dfrac{x+3}{30}$

    $30\cdot \dfrac{x}{5}+30\cdot \dfrac{3}{10}=30\cdot \dfrac{1-x}{15}-30\cdot \dfrac{x+3}{30}$     ( multiplicando por el mmc(5,10,15,30)=30 )

      $\dfrac{30}{5}\,x+\dfrac{30}{10}\cdot 3=\dfrac{30}{15}\,(1-x)-\dfrac{30}{30}\,(x+3)$

        $6\,x+3\cdot 3=2\,(1-x)-1 \cdot (x+3)$

          $6\,x+9=2-2\,x-x-3$

            $6\,x+2\,x+x=2-3-9$

              $9\,x=-10$

                $x=-\dfrac{10}{9}$

$\square$

[nota del autor]

Resolver la siguiente proporción: $\dfrac{2}{7}=\dfrac{x}{14}$

Enunciado:
Resolver la siguiente proporción:
$$\dfrac{2}{7}=\dfrac{x}{14}$$

Resolución:
$\dfrac{2}{7}=\dfrac{x}{14} \Leftrightarrow 2\cdot 14 = 7\,x$, luego $28=7\,x$, de donde $x=4$

Otra manera de hacerlo:
$\dfrac{2}{7}=\dfrac{x}{14}$
  $\dfrac{2}{7} \cdot 14=\dfrac{x}{14} \cdot 14$
    $2\cdot \dfrac{14}{7}=x \cdot \dfrac{14}{14}$
      $2\cdot 2=1 \cdot x$
        $4=x$
          es decir, $x=4$


$\blacksquare$

[nota del autor]

Calcula el valor de $x$ en la siguiente proporción $\dfrac{2}{5}=\dfrac{x+5}{150}$

Enunciado:
Calcula el valor de $x$ en la siguiente proporción $$\dfrac{2}{5}=\dfrac{x+5}{150}$$

Resolución:

$\dfrac{2}{5}=\dfrac{x+5}{150}$

  $\dfrac{2}{5} \cdot 150=x+5$

    $\dfrac{2}{5} \cdot 150 - 5=x$

      $60 - 5=x$

        $55=x$

          $x=55$

$\blacksquare$

[nota del autor]

¿ Cuál es el valor que debe tener $x$ para que las fracciones $\dfrac{2}{5}$ y $\dfrac{4}{x}$ sean equivalentes ?.

Enunciado:
¿ Cuál es el valor que debe tener $x$ para que las fracciones $\dfrac{2}{5}$ y $\dfrac{4}{x}$ sean equivalentes ?.

Resolución:
$\dfrac{2}{5}$ y $\dfrac{4}{x}$ son equivalentes si y sólo si $\dfrac{2}{5}=\dfrac{4}{x}$, si y sólo si $2\,x=5\cdot 4$. Resolvamos, pues, esta ecuación:
$2\,x=5\cdot 4$

  $2\,x=4\cdot 5$

  $\dfrac{1}{2}\cdot 2\,x=\dfrac{1}{2}\cdot 4\cdot 5$

    $\dfrac{1 \cdot 2}{2}\,x=\dfrac{1 \cdot 4}{2} \cdot 5$

    $\dfrac{2}{2}\,x=\dfrac{4}{2} \cdot 5$

      $1\cdot x=2 \cdot 5$

        $x=10$

$\blacksquare$

[nota del autor]

Resolver la ecuación $x-1=3+2\,x$

Enunciado:
Resolver la ecuación $$x-1=3+2\,x$$

Resolución:
$x-1=3+2\,x$

  $x-1+1=3+2\,x+1$

    $x+0=3+2\,x+1$

      $x=2\,x+3+1$

        $x=2\,x+4$

          $-2\,x+x=-2\,x+2\,x+4$

          $-x=0+4$

          $-x=4$

            $x=-4$

$\blacksquare$

[nota del autor]

Ejercicios resueltos de los temas 5 y 6 de Matemáticas de 2.º de la ESO ( tercer examen del primer trimestre )

Ejercicios resueltos del examen de los temas 5 y 6.

[nota del autor]