Resoleu l'equció:
$\dfrac{2}{15}\,x+\dfrac{1}{12}=\dfrac{7}{75}-\dfrac{5}{36}\,x$
Solució:
Procediment A:
Observem que es tracta d'una equació de primer grau amb una incògnita i amb coeficients fraccionaris. Multiplicant ambdós membres de la igualtat pel mínim comú múltiple del conjunt de denominadors dels coeficients, i, simplificant, obtindrem una equació equivalent amb coeficients enters, que serà més senzilla.
Calculem el mínim comú múltiple dels denominadors de dels coeficients
$\{\dfrac{2}{15}\,,\,\dfrac{1}{12}\,\,,\,\dfrac{7}{75}\,,\,\dfrac{5}{36}\}$
i obtenim
$\text{m.c.m}(15,12,75,36)=3^2\cdot 5^2 \cdot 2^2 = 900$
Multiplicant els dos membres de l'equació per aquest nombre podrem escriure l'equació equivalent
$900\cdot \dfrac{2}{15}\,x+900\cdot \dfrac{1}{12}=900\cdot \dfrac{7}{75}-900\cdot \dfrac{5}{36}\,x$
que, simplificant, queda
$120\,x+75=84-125\,x$
Agrupant, ara, els termes semblants a un i altre membre de la igualtat arribem a
$120\,x+125\,x=84-75$
i, operant, s'obté
$245\,x=9$
d'on, aïllant la incògnita s'arriba al valor d'aquesta que satisfà al igualtat plantejada
$x=\dfrac{9}{245}$
$\square$
Variant del procediment A:
Reduïm a comú denominador els coeficients fraccionaris:
$\{\dfrac{2}{15}\,,\,\dfrac{1}{12}\,\,,\,\dfrac{7}{75}\,,\,\dfrac{5}{36}\}$
obtenint el conjunt de fraccions de denominador comú
$\{\dfrac{2 \cdot (900 \div 15)}{900}\,,\,\dfrac{1 \cdot (900 \div 12)}{900}\,\,,\,\dfrac{7 \cdot (900 \div 75)}{900}\,,\,\dfrac{5 \cdot (900 \div 36)}{900}\}$
que, fent les operacions, són
$\{\dfrac{120}{900}\,,\,\dfrac{75)}{900}\,\,,\,\dfrac{84}{900}\,,\,\dfrac{125}{900}\}$
En substituir els coeficients originals pels corresponents equivalents que acabem de calcular podrem escriure l'equació original de la forma
$\dfrac{120}{900}\,x+\dfrac{75}{900}=\dfrac{84}{900}-\dfrac{125}{900}\,x$
és a dir
$\dfrac{120\,x+75}{900}=\dfrac{84-125\,x}{900}$
i multiplicant per $900$ a cada membre
$900\ cdot \dfrac{120\,x+75}{900}=900\,\dfrac{84-125\,x}{900}$
podrem simplificar i escriure-la de la manera següent
$120\,x+75=84-125\,x$
i, finalment, agrupant els termes semblants a cada costat de l'igual
$120\,x+125\,x=84-75$
que, per la propietat distributiva de la multiplicació respecte de la suma, és equivalent a
$(120+125)\,x=84-75$
operant s'obté
$245\,x=9$
i, dividint ambdós membres per $245$
$\dfrac{245\,x}{245}=\dfrac{9}{245}$
i simplificant, ens quedarà aïllada la incògnita
$x=\dfrac{9}{245}$
$\square$
Procediment B:
Operarem, ara, amb nombres fraccionaris i, per tant, agrupem ja els termes semblants a cada membre de la igualtat. A partir de l'equació original
$\dfrac{2}{15}\,x+\dfrac{1}{12}=\dfrac{7}{75}-\dfrac{5}{36}\,x$
podem escriure
$\dfrac{2}{15}\,x+\dfrac{5}{36}\,x=\dfrac{7}{75}-\dfrac{1}{12}$
i, per la propietat distributiva del producte respecte de la suma, ho podem posar així
$\big(\dfrac{2}{15}+\dfrac{5}{36}\big)\,x=\big(\dfrac{7}{75}-\dfrac{1}{12}\big)$
a partir d'aquí, sumant els coeficients fraccionaris; s'obté
$\dfrac{49}{180}\,x=\dfrac{1}{100}$
és a dir
$\dfrac{49}{18}\,x=\dfrac{1}{10}$
i aïllant la incògnita arribem a
$x=\dfrac{\frac{1}{10}}{\frac{49}{18}}$
i efectuant el quocient de les fraccions trobem
$x=\dfrac{18}{490}$
resultat que, simplificat, queda
$x=\dfrac{9}{245}$
$\square$
Nota 1: Per comprovar que el resultat és obtingut cal substituir-lo a l'equació original i mirar si les quantitats que s'obtenen a cada membre són iguals. Vegem-ho.
L'equació original és
$\dfrac{2}{15}\,x+\dfrac{1}{12}=\dfrac{7}{75}-\dfrac{5}{36}\,x$
Substituint, trobem que el primer membre és igual a
$\dfrac{2}{15}\cdot \dfrac{9}{245}+\dfrac{1}{12}$
que, operant, queda
$\dfrac{1297}{14700}$
i que el segon membre té el següent valor
$\dfrac{7}{75}-\dfrac{5}{36}\cdot \dfrac{9}{245}$
que també és igual a
$\dfrac{1297}{14700}$
Per tant, queda comprovat el resultat obtingut.
Nota 2: En general, no és convenient operar amb les expressions decimals dels coeficients fraccionaris dels termes de l'equació, per vàries raons: a) les expressions decimal d'aquests coeficients fraccionaris són de tipus decimal periòdic:
$\dfrac{2}{15}=0,1\bar{3}$
$\dfrac{1}{12}=0,08\bar{3}$
$\dfrac{7}{75}=0,09\bar{3}$
$\dfrac{5}{36}=0,13\bar{8}$
Per tant, ens veuríem obligats a fer aproximacions; és a dir, no obtindríem el resultat exacte ans un d'aproximat la qual cosa, en aquest exercici és innecessari i, doncs, inacceptable; b) treballar amb expressions decimals és gairebé sempre més farragós i feixuc que fer ús del càlcul amb fraccions (que podem realitzar amb les funcions de càlcul fraccionari de la calculadora científica bàsica ).
