Ejercicio 1 de la semana del 25 al 31 de mayo de 2020 - Números enteros. Divisibilidad. Máximo común divisor. Algoritmo de Euclides

ENUNCIADO. Ejercicio 126 ( apartado c ) de la página 23 del libro base ( Unidad Didáctica 1 ) - ligeramente modificado -
Lee atentamente la explicación que se da en el enunciado como ayuda y aplica el algoritmo de Euclides para calcular:
c) m.c.d.({3260,542})


INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

SOLUCIÓN.
$3260 =542\cdot 6 +8 \Rightarrow \text{m.c.d}(3260,542)=\text{m.c.d}(542,8)$
  $542 =8\cdot 67 +6 \Rightarrow \text{m.c.d}(542,8)=\text{m.c.d}(8,6)$
    $8 =1\cdot 6 +2 \Rightarrow \text{m.c.d}(8,6)=\text{m.c.d}(6,2)$
      $6 =2\cdot 3 +0 \Rightarrow \text{m.c.d}(3260,542)=\text{m.c.d}(6,2)=2$

RMT - Ejercicio 3 de la semana del 18 al 24 de mayo de 2020 - Aritmética. Años bisiestos.

ENUNCIADO. Explica qué se entiende por un año bisiesto de nuestro calendario. Pon un ejemplo de año bisiesto. ¿ De cuántos días consta un año bisiesto ? Escribe el número de días de que consta cada mes de un año bisiesto.

INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

SOLUCIÓN. Debido a la necesidad de ajustar el calendario a la duración del año, por convenio, se estableció que los años bisiestos tienen $366$ días ( $1$ día más que los años no-bisiestos, que tienen $365$ días ). El siguiente algoritmo permite reconocer si un año es o no es bisiesto:

Un número es bisiesto si: 
    es múltiplo de $4$
        excepto si es múltiplo de $100$
            excepto si es múltiplo de $400$

Así, por ejemplo:
  $2012$ fue un año bisiesto, por ser múltiplo de $4$ ( el número formado por los dos dígitos de menos peso '12' es múltiplo de $4$ ) y no ser múltiplo de $100$
  $2011$ no fue un año bisiesto, pues no es múltiplo de $4$
  $1800$ no fue un año bisiesto, pues si bien es múltiplo de $4$, también es múltiplo de $100$ y, sin embargo, no lo es de $400$
  $2000$ fue un año bisiesto, pues es múltiplo de $4$, y aunque también es múltiplo de $100$ también lo es de $400$

En un año bisiesto, los 12 meses constan de las siguientes cantidades de días:

Enero: 31 días
Febrero: 28+1 =29 días ( el día de más, con respecto a un año no-bisiesto de 365 días - se añade a los 28 días del mes de febrero )
Marzo: 31 días
Abril: 30 días
Mayo: 31 días
Junio: 30 días
Julio: 31 días
Agosto: 31 días
Septiembre: 3 días
Octubre: 31 días
Noviembre: 30 días
Diciembre: 31 días

RMT - Ejercicio 2 de la semana del 18 al 24 de mayo de 2020 - Aritmética. Números primos entre sí ( coprimos )

ENUNCIADO. Escribe tres parejas de números enteros positivos formadas por números primos entre sí ( coprimos )

INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

SOLUCIÓN.
Desde luego, hay infinitas parejas de números coprimos ( primos entre sí). A continuación, escribo tres ejemplos, tal como se pide en el enunciado:
$\{8,9\}$ es una pareja de primos entre sí ( coprimos ), pues $\text{m.c.d.}(\{8,9\})=1$
$\{4,15\}$ es una pareja de primos entre sí ( coprimos ), pues $\text{m.c.d.}(\{4,15\})=1$
$\{6,7\}$ es una pareja de primos entre sí ( coprimos ), pues $\text{m.c.d.}(\{6,7\})=1$

RMT - Ejercicio 1 de la semana del 11 al 17 de mayo de 2020 - Operaciones combinadas con números enteros

ENUNCIADO. Realiza las siguientes operaciones combinadas con números enteros
$$(7+8)\cdot (1+2-3)+(8+9)\cdot (5-4)$$


INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

SOLUCIÓN.
$(7+8)\cdot (1+2-3)+(8+9)\cdot (5-4)=$
  $=15\cdot 0 +17\cdot 1$
    $=0+17$
      $=17$

Presentación del primer tema del nuevo curso

En este primer tema de este nuevo curso, que lleva el título de "Divisibilidad y números enteros", estudiaremos los siguientes contenidos:


Operaciones básicas con números enteros y sus propiedades

• Suma y resta ( la resta puede verse como una operación combinada de la suma del minuendo con el opuesto del sustraendo )

• Producto

• División entera

• Operaciones combinadas con números enteros

Divisores y múltiplos

• Números primos y números compuestos

• Máximo común divisor y mínimo común múltiplo

Operaciones con números enteros

ENUNCIADO. Efectuar las siguientes operaciones con números:
a) $1-\text{opuesto}(3)+2-|3|$
b) $1-(-1)-\text{opuesto}(1)$
c) $(4+|-1|)^3 \div 25-1$
d) $2+2^5 \div 2^3-2^2 $
e) $3^2 \cdot 3^3 \cdot 5^0$
f) $\left((-2)^5\right)^2$
g) $\left(2+3\right)^3$
h) $\sqrt{121 \cdot 625}$

SOLUCIÓN.
a)

$1-\text{opuesto}(3)+2-|3|=$

  $=1-(-3)+2-3$

    $=1+\text{opuesto}(-3)+2-3$

      $=1+3+2-3$

        $=3$

b)

$1-(-1)-\text{opuesto}(1)=$

  $=1+\text{opuesto}(-1)-(-1)$

    $=1+1+\text{opuesto}(-1)$

      $=1+1+1$

        $=3$

c)

$(4+|-1|)^3 \div 25-1=$

  $=(4+1)^3 \div 25 -1$

    $=5^3 \div 25 -1$

      $=125 \div 25 -1$

        $=5 -1$

          $=4$

d)

$2+2^5 \div 2^3-2^2=$

  $=2+2^{5-3}-2^2$

    $=2+2^{2}-2^2$

      $=2+0$

        $=2$

e)

$3^2 \cdot 3^3 \cdot 5^0=$

  $=3^2 \cdot 3^3 \cdot 1$

    $=9 \cdot 27 \cdot 1$

      $=243$

f)

$\left((-2)^5\right)^2=$

  $=\left(-2^5\right)^2$

    $=\left((-1)\cdot 2^5\right)^2$

    $=(-1)^2 \cdot \left(2^5\right)^2$

      $=(+1) \cdot {2^5 \cdot 2}$

        $=2^{10}$

          $=1024$

g)

$\left(2+3\right)^3=$

  $=5^3$

    $=125$

h)

$\sqrt{121 \cdot 625}=$

  $=\sqrt{121} \cdot \sqrt{625}$

    $=11 \cdot 25$

      $=275$

$\square$

[autoría]

El número de páginas de un libro ...

ENUNCIADO. El número de páginas de un libro es igual a un número cuadrado más $13$. Si se le suma $20$ ( al número de páginas de este libro ), se obtiene el número cuadrado mayor y más próximo al número cuadrado del que hablábamos. ¿ Cuántas páginas tiene el libro ?.

SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ al número cuadrado del que se habla en la primera frase. Entonces cabe plantear la siguiente igualdad:
$$(x^2+13)+20=(x+1)^2$$ es decir $$x^2+33=x^2+2\,x+1$$ simplificando $$33=2\,x+1$$ esto es $$32=2\,x$$ luego $x=16$ y, por tanto, el número de páginas del libro es $16^2+13=256+13=269$.
$\square$

[autoría]

Hallar el menor número entero positivo tal que ...

ENUNCIADO. Hallar el menor número entero positivo que hay que restar a $8561$ para obtener un número cuadrado.

SOLUCIÓN. Como $91^2=8281 \prec 8561$, probamos con $92$; $92^2=8464 \prec 8561$; sin embargo $93^2=8649 \succ 8561$, luego el número cuadrado mayor que $8561$ y más cercano al mismo es $8464$. Por consiguiente, debemos encontrar $x$ tal que $8561-x=8464$, esto es, $x=8561-8464$, que es igual a 97. $\square$

[autoría]

La suma de los cuadrados de tres números naturales consecutivos es igual a la suma de los cuadrados de los dos siguientes números consecutivos. ¿ De qué números estamos hablando ?

Enunciat:
La suma dels quadrats de tres nombres naturals consecutius és igual a la suma dels quadrats dels dos següents. Quins nombres són ?

Resolució:
Anomenem $n$ al nombre més petit d'aquests tres; llavors, segons l'enuncitat, s'escau escriure la següent equació

$n^2+(n+1)^2+(n+2)^2=(n+3)^2+(n+4)^2$

desenvolupant els binomis al quadrat, i agrupant i ordenant els termes, trobem l'equació equivalent

$n^2-8n-20=0$

resolent-la, trobem dos valors com a solució:

$n_1=-2$ (que no és un nombre natural) i $n_2=10$

Tan sols el segon és solució del problema (ens demanen un nombre natural); per tant, els tres nombres naturals consecutius demanats són: 10, 11 i 12

$\square$

Calcular el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de los números enteros ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
    Calculeu
      a) el màxim comú divisor de $-72$ i $-84$
      b) el mínim comú múltiple de $-72$ i $-84$

Solució:
  a)
Tinguem en compte que, tractant amb nombres enters que, en aquest cas, son negatius:
    $\text{m.c.d}(-72,-84)=\text{m.c.d}(\left|-72\right|,\left|-84\right|)$
Factoritzant ambdós nombres obtenim
      $72=2^3\cdot 3^2$
      $84=2^2\cdot 3 \cdot 7$
per tant
    $\text{m.c.d}(-72,-84)=\text{m.c.d}(\left|-72\right|,\left|-84\right|)=\pm ( 2^2\cdot 3 ) = \pm 12$

  b)
Emprant la propietat
        $\text{m.c.m}(a,b) \times \text{m.c.d}(a,b)=a \cdot b$
obtenim
        $\text{m.c.m}(-72,-84) = \big((-72)\cdot (-84)\big) \div \text{m.c.d}(-72,-84)$
                                        $= \big((-72)\cdot (-84)\big) \div ( \pm 12 )$
                                        $= 6\,048 \div ( \pm 12 )$
                                        $= \pm 504$

$\square$

[nota del autor]

Un grupo de jóvenes asisten a una fiesta. Si se marchasen tres chicos

Enunciat:
Quaranta-tres joves assisteixen a una festa. Si marxessin 3 nois, hi hauria el triple de noies que de nois. Quantes noies hi havia?

Solució:
Designem amb $n$ el nombre de nois que inicialment hi ha a la festa; llavors, si en marxen tres, $n-3$ és el nombre de nois que es queden.

Tenint en compte, a més a més, que en marxar tres persones hi quedaran 40 persones i que el nombre de noies (en aquesta situació) [ que és $40-(n-3)$ ] ha de ser el triple que el de nois, escriurem la següent equació,

              $40-(n-3)=3\,(n-3)$

Resolent aquesta equació trobarem el nombre de nois que hi havia inicialment a la festa:

        $40-(n-3)=3\,(n-3)$
        $40=4\,(n-3)$
        $10=n-3$
        $n=10+3$
          $=13 \quad \text{nois}$

Per tant hi queden $13-3=10 \quad \text{nois}$ i $3\cdot 10= 30 \quad \text{noies}$. I com que no ha marxat cap noia, a la festa hi havia inicialment $30$ noies ( i $1 3$ nois).

$\square$

La suma de dos números naturales consecutivos es ...

Enunciat:
La suma de dos nombres naturals senars consecutius és igual a 156. Determineu aquests nombres.

Solució:
Si $n$ és un nombre enter positiu ( $ n=0,1,2,\ldots $ ), llavors $2\,n+1$ és un nombre senar, i $(2\,n+1)+2$ és el nombre senar consecutiu al primer. D'acord amb la informació de l'enunciat podrem plantejar la següent equació:
              $(2\,n+1)+\big((2\,n+1)+2\big)=156$
Resolem-la:
      $(2\,n+1)+\big((2\,n+1)+2\big)=156$
        $2\,n+1+2\,n+3=156$
        $4\,n+4=156$
        $4\,n=156-4$
        $n=\dfrac{152}{4}$
              $=38$
D'aquest valor de $n$ trobem, doncs, els valors del primer nombre senar demanat
        $2\,n+1=2 \cdot 38+1$
          $=77$
i del seu senar consecutiu
        $2\,n+3=2 \cdot 38+3$
          $=77+2$
          $=79$
$\square$

Operaciones combinadas ...

Enunciado:
1. Calcule el número entero resultante:
  a) $4\cdot ( 2 \cdot 3 -1)^2$

2. Calcule y exprese el resultado en forma de fracción ( simplificada ):
  b) $\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{5}{8}$
  c) $\dfrac{7}{2}\cdot \dfrac{4}{21}$
  d) $\dfrac{9}{2}\div \dfrac{3}{8}$

Solución:

$\square$

Ejercicios resueltos de los Temas 1 y 2 ( números enteros y operaciones combinadas )

Ejercicios resueltos del examen de los temas 1 y 2.

[nota del autor]