Ejercicio 1 de la semana del 25 al 31 de mayo de 2020 - Números enteros. Divisibilidad. Máximo común divisor. Algoritmo de Euclides

ENUNCIADO. Ejercicio 126 ( apartado c ) de la página 23 del libro base ( Unidad Didáctica 1 ) - ligeramente modificado -
Lee atentamente la explicación que se da en el enunciado como ayuda y aplica el algoritmo de Euclides para calcular:
c) m.c.d.({3260,542})


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SOLUCIÓN.
$3260 =542\cdot 6 +8 \Rightarrow \text{m.c.d}(3260,542)=\text{m.c.d}(542,8)$
  $542 =8\cdot 67 +6 \Rightarrow \text{m.c.d}(542,8)=\text{m.c.d}(8,6)$
    $8 =1\cdot 6 +2 \Rightarrow \text{m.c.d}(8,6)=\text{m.c.d}(6,2)$
      $6 =2\cdot 3 +0 \Rightarrow \text{m.c.d}(3260,542)=\text{m.c.d}(6,2)=2$

RMT - Ejercicio 2 de la semana del 11 al 17 de mayo de 2020 - Números enteros. Divisibilidad. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo.

ENUNCIADO. Halla el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de 36 y 60

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SOLUCIÓN.

(Cliquea sobre la imagen para verla en tamaño natural)

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Hallar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los siguientes números naturales

ENUNCIADO. Considerar los números naturales $42$, $72$ y $84$. Se pide:
a) el \textit{máximo común divisor} de dichos números
b) el \textit{mínimo común múltiplo} de dichos números

SOLUCIÓN. Descomponiendo en factores cada uno de los números: $$42=2\cdot 3 \cdot 7$$ $$72=2^3\cdot 3^2$$ $$84=2^2\cdot 3 \cdot 7$$
Por consiguiente $$\text{a)} \quad \text{m.c.d}(42\,,\,72\,,\,84)=\text{m.c.d}(2\cdot 3 \cdot 7\,,\,2^3\cdot 3^2\,,\,82^2\cdot 3 \cdot 7)=2\cdot 3=6$$ $$\text{b)} \quad\text{m.c.m}(42\,,\,72\,,\,84)=\text{m.c.m}(2\cdot 3 \cdot 7\,,\,2^3\cdot 3^2\,,\,82^2\cdot 3 \cdot 7)=2^3\cdot 3^2 \cdot 7=504$$
$\square$

[autoría]

Relación entre el máximo común divisor y mínimo común múltiplo de dos números enteros

ENUNCIADO:
Sabiendo que $\text{m.c.d}(|15|,|-10|)=5$ ( es decir, $\text{m.c.d}(15,-10)=\pm \,5$ ) , determinar $\text{m.c.m}(15,-10)$

SOLUCIÓN:
Sabemos que dados dos números enteros $m$ y $n$, se cumple la siguiente propiedad: $$\text{m.c.d}(|m|,|n|) \cdot \text{m.c.m}(|m|,|n|)=|m|\cdot |n|$$ entoces podemos escribir $$5 \cdot \text{m.c.m}(|15|,|-10|) = 15 \cdot 10$$ de donde, despejando $\text{m.c.m}(|15|,|-10|)$ obtenemos $$\text{m.c.m}(|15|,|-10|)=\dfrac{|15| \cdot |-10|}{5} $$ esto es $$\text{m.c.m}(|15|,|-10|)=\dfrac{150}{5}=30 $$ luego deducimos que $$\text{m.c.m}(15,-10)=\pm \, 30$$
$\square$

[autoría]

Hallar el máximo común divisor de los números naturales $64$ y $24$, empleando el método de Euclides

ENUNCIADO:
Determinar el máximo común divisor de $64$ y $24$ empleando el método de las divisiones sucesivas o método de Euclides.

SOLUCIÓN:
Este método se basa en hallar el cociente y el resto de la división de números naturales [ lógicamente, entre el mayor de los dos números ( $D_1$ ) y el menor ($d_1$ ) ]; si el resto de dicha división es $0$, el máximo común divisor pedido es igual al menor de los dos ( el divisor ), y hemos terminado; si no es así, hacemos otra división, donde el nuevo dividendo es ahora el antiguo divisor y el nuevo divisor el antiguo resto, haciendo la misma comprobación ( si el nuevo resto es cero, el máximo común divisor de los dos números pedidos es el divisor de dicha división ); en caso contrario, volvemos a repetir el mismo paso ( otra división, asignando nuevo dividendo y nuevo divisor ) y, así, una y otra vez, hasta llegar a una división cuyo resto sea cero, de lo cual concluiremos que el $\text{m.c.d}(64,24)$ ha de ser igual al divisor de esta última división, y terminamos.

Bien, en el caso del enunciado:

$D_1=64$ y $d_1=24$ y realizamos la división
$$64 \div 24 \rightarrow \left\{\begin{matrix}
c_1=2 \\
\\
\text{y}
\\
r_1=16 \neq 0 \rightarrow \left\{\begin{matrix}
D_2:=d_1=24 \\
\\
d_2:=r_1=16
\end{matrix}\right.
\end{matrix}\right.$$

como el resto no es cero, continuamos ...

$D_2=24$ y $d_2=16$ y realizamos la división:
$$24 \div 16 \rightarrow \left\{\begin{matrix}
c_2=1 \\
\\
\text{y}
\\
r_2=8 \neq 0 \rightarrow \left\{\begin{matrix}
D_3:=d_2=16 \\
\\
d_3:=r_2=8
\end{matrix}\right.
\end{matrix}\right.$$

como el resto no es cero, continuamos ...

$D_3=16$ y $d_3=8$ y realizamos la división:
$$16 \div 8 \rightarrow \left\{\begin{matrix}
c_3=2 \\
\\
\text{y}
\\
r_2=0
\end{matrix}\right.$$

y como el resto ( en este paso ) es cero , concluimos que $\text{m.c.d.}(64,24)=d_3=8$, y hemos terminado.

OBSERVACIÓN: Teniendo en cuenta que todo número natural es también un número entero, si interpretamos los números naturales dados como números enteros, debemos decir que el $\text{m.c.d.}(64,24)$ no es tan solo $8$ sino también $-8$; en efecto, al ser el resto de la división $64 \div (-8)$ ( ahora, división entera ) igual a $0$, es claro que $-8$ también es divisor de $64$; y, lo mismo, sucede con respecto a la división de $24$ entre $-8$.

$\square$

Calcular el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de los números enteros ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
    Calculeu
      a) el màxim comú divisor de $-72$ i $-84$
      b) el mínim comú múltiple de $-72$ i $-84$

Solució:
  a)
Tinguem en compte que, tractant amb nombres enters que, en aquest cas, son negatius:
    $\text{m.c.d}(-72,-84)=\text{m.c.d}(\left|-72\right|,\left|-84\right|)$
Factoritzant ambdós nombres obtenim
      $72=2^3\cdot 3^2$
      $84=2^2\cdot 3 \cdot 7$
per tant
    $\text{m.c.d}(-72,-84)=\text{m.c.d}(\left|-72\right|,\left|-84\right|)=\pm ( 2^2\cdot 3 ) = \pm 12$

  b)
Emprant la propietat
        $\text{m.c.m}(a,b) \times \text{m.c.d}(a,b)=a \cdot b$
obtenim
        $\text{m.c.m}(-72,-84) = \big((-72)\cdot (-84)\big) \div \text{m.c.d}(-72,-84)$
                                        $= \big((-72)\cdot (-84)\big) \div ( \pm 12 )$
                                        $= 6\,048 \div ( \pm 12 )$
                                        $= \pm 504$

$\square$

[nota del autor]

Queremos embaldosar el suelo de una habitación rectangular con baldosas cuadradas ...

Enunciat:
    Volem enrajolar una habitació rectangular amb el nombre més petit possible de rajoles quadrades, sense haver de trencar i ajustar les rajoles. Els costats de l'habitació mesuren $420 \; \text{cm}$ i $528 \; \text{cm}$, respectivament. De quina mida han de ser les rajoles ? Quantes rajoles necessitarem ?

Solució:
    Imaginant una fila de rajoles al llarg d'un dels costats veiem que n'hi ha d'haver un nombre enter (no ha de faltar ni sobrar cap tros de rajola); i, al llarg de l'altre costat ha de passar el mateix. Llavors, el costat $c$ de les rajoles ha de correspondre al màxim comú divisor de les longituds dels costats de l'habitació:
                                      $c=\text{m.c.d.(420,528)}=12 \; \text{cm}$
Llavors, el nombre de rajoles és igual al nombre de quadrats amb què podem quadricular l'habitació rectangular; necessitem, per tant, el següent nombre de rajoles
                                      $\dfrac{420}{12}\cdot \dfrac{528}{12}=35 \cdot 44 = 1\,540 \, \text{rajoles}$
$\square$