RMT - Ejercicio 2 de la semana del 11 al 17 de mayo de 2020 - Números enteros. Divisibilidad. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo.

ENUNCIADO. Halla el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de 36 y 60

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SOLUCIÓN.

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Hallar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los siguientes números naturales

ENUNCIADO. Considerar los números naturales $42$, $72$ y $84$. Se pide:
a) el \textit{máximo común divisor} de dichos números
b) el \textit{mínimo común múltiplo} de dichos números

SOLUCIÓN. Descomponiendo en factores cada uno de los números: $$42=2\cdot 3 \cdot 7$$ $$72=2^3\cdot 3^2$$ $$84=2^2\cdot 3 \cdot 7$$
Por consiguiente $$\text{a)} \quad \text{m.c.d}(42\,,\,72\,,\,84)=\text{m.c.d}(2\cdot 3 \cdot 7\,,\,2^3\cdot 3^2\,,\,82^2\cdot 3 \cdot 7)=2\cdot 3=6$$ $$\text{b)} \quad\text{m.c.m}(42\,,\,72\,,\,84)=\text{m.c.m}(2\cdot 3 \cdot 7\,,\,2^3\cdot 3^2\,,\,82^2\cdot 3 \cdot 7)=2^3\cdot 3^2 \cdot 7=504$$
$\square$

[autoría]

Relación entre el máximo común divisor y mínimo común múltiplo de dos números enteros

ENUNCIADO:
Sabiendo que $\text{m.c.d}(|15|,|-10|)=5$ ( es decir, $\text{m.c.d}(15,-10)=\pm \,5$ ) , determinar $\text{m.c.m}(15,-10)$

SOLUCIÓN:
Sabemos que dados dos números enteros $m$ y $n$, se cumple la siguiente propiedad: $$\text{m.c.d}(|m|,|n|) \cdot \text{m.c.m}(|m|,|n|)=|m|\cdot |n|$$ entoces podemos escribir $$5 \cdot \text{m.c.m}(|15|,|-10|) = 15 \cdot 10$$ de donde, despejando $\text{m.c.m}(|15|,|-10|)$ obtenemos $$\text{m.c.m}(|15|,|-10|)=\dfrac{|15| \cdot |-10|}{5} $$ esto es $$\text{m.c.m}(|15|,|-10|)=\dfrac{150}{5}=30 $$ luego deducimos que $$\text{m.c.m}(15,-10)=\pm \, 30$$
$\square$

[autoría]

Calcular el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de los números enteros ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
    Calculeu
      a) el màxim comú divisor de $-72$ i $-84$
      b) el mínim comú múltiple de $-72$ i $-84$

Solució:
  a)
Tinguem en compte que, tractant amb nombres enters que, en aquest cas, son negatius:
    $\text{m.c.d}(-72,-84)=\text{m.c.d}(\left|-72\right|,\left|-84\right|)$
Factoritzant ambdós nombres obtenim
      $72=2^3\cdot 3^2$
      $84=2^2\cdot 3 \cdot 7$
per tant
    $\text{m.c.d}(-72,-84)=\text{m.c.d}(\left|-72\right|,\left|-84\right|)=\pm ( 2^2\cdot 3 ) = \pm 12$

  b)
Emprant la propietat
        $\text{m.c.m}(a,b) \times \text{m.c.d}(a,b)=a \cdot b$
obtenim
        $\text{m.c.m}(-72,-84) = \big((-72)\cdot (-84)\big) \div \text{m.c.d}(-72,-84)$
                                        $= \big((-72)\cdot (-84)\big) \div ( \pm 12 )$
                                        $= 6\,048 \div ( \pm 12 )$
                                        $= \pm 504$

$\square$

[nota del autor]