Ordenación de fracciones

ENUNCIADO. Ordenar de menor a mayor las siguientes fracciones, sin recurrir a sus expresiones decimales:
$$\lbrace \,\dfrac{3}{4}\,,\,\dfrac{2}{3}\,,\,\dfrac{4}{3}\,,\,\dfrac{4}{5}\,,\,\dfrac{3}{2} \, \rbrace$$

ENUNCIADO. Para comparar las fracciones, procedemos a reducirlas a común denominador ( encontramos una fracción equivalente, a cada una, que tenga el mismo denominador ), de este modo, bastará ordenar los nuevos numeradores para que dicho orden determine el orden de las fracciones respectivas. Calculemos, pues, el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones dadas $$\text{m.c.m}(2,3,4,5)=60$$

Así,

$\dfrac{3}{4}=\dfrac{3\cdot 15}{60}=\dfrac{45}{60}$

$\dfrac{2}{3}=\dfrac{2\cdot 20}{60}=\dfrac{40}{60}$

$\dfrac{4}{3}=\dfrac{4\cdot 20}{60}=\dfrac{80}{60}$

$\dfrac{4}{5}=\dfrac{4\cdot 12}{60}=\dfrac{48}{60}$

$\dfrac{3}{2}=\dfrac{3\cdot 30}{60}=\dfrac{90}{60}$

Por tanto, $$\dfrac{2}{3} \prec \dfrac{3}{4} \prec \dfrac{4}{5} \prec \dfrac{4}{3} \prec \dfrac{3}{2} $$

$\square$

[autoría]

Operar con fracciones

ENUNCIADO:
Efectuar las siguientes operaciones con fracciones:
a) $\dfrac{2}{3}-\dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{2}$

b) $\dfrac{4}{9}\cdot \dfrac{3}{2}$

c) $\dfrac{6}{12}\div \dfrac{3}{4}$

d) $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{3}-\dfrac{1}{3}$

SOLUCIÓN:

a)
$\dfrac{2}{3}-\dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{2}=$

    $=\dfrac{4}{6}-\dfrac{5}{6}+\dfrac{3}{6}$ ( reduciendo a común denominador )

    $=\dfrac{4-5+3}{6}$ ( operando los numeradores )

    $=\dfrac{2}{6}$ ( simplificando ...)

    $=\dfrac{1}{3}$

b)

$\dfrac{4}{9}\cdot \dfrac{3}{2}=\dfrac{4 \cdot 3}{9 \cdot 2} = \dfrac{4 \cdot 3}{2 \cdot 9}=\dfrac{2 \cdot 1}{1 \cdot 3}=\dfrac{2}{3}$

c)

$\dfrac{6}{12}\div \dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{2}\div \dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{2}\cdot \text{inv}\left( \dfrac{3}{4}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{4}{3} = \dfrac{1 \cdot 4}{2 \cdot 3}= \dfrac{4 \cdot 1}{2 \cdot 3} = \dfrac{2 \cdot 1}{1 \cdot 3} =\dfrac{2}{3}$

d)

$\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{3}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1 \cdot 4 }{2 \cdot 3} - \dfrac{1}{3}=\dfrac{4 \cdot 1}{2 \cdot 3} - \dfrac{1}{3}=\dfrac{2 \cdot 1}{1 \cdot 3} - \dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}$

$\square$

Calcular la fracción resultante ...

Enunciat:
Efectueu la següent operació amb fraccions:
      $\big(\dfrac{5}{12}-\dfrac{7}{30}+\dfrac{1}{2}\div \dfrac{3}{4}\big)\cdot \dfrac{60}{5}$

Solució:
Primer de tot, simplifiquem les fraccions que siguin reductibles:
    $\dfrac{60}{5}=12$
i tornem a escriure l'expressió numèrica equivalent
      $\big(\dfrac{5}{12}-\dfrac{7}{30}+\dfrac{1}{2}\div \dfrac{3}{4}\big)\cdot 12$
A continuació, respectant la prioritat de les operacions, efectuem primer les que hi ha dins del parèntesi, per tant, efectuem en primer lloc la divisió
    $\dfrac{1}{2}\div \dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{2}\cdot \text{inv}\big(\dfrac{3}{4}\big)=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{4}{3}=\dfrac{1\cdot 4}{2 \cdot 3}=\dfrac{4}{2}\cdot \dfrac{1}{3}=2 \cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$
Posem aquest resultat a la línia principal del càlcul i continuem
      $\big(\dfrac{5}{12}-\dfrac{7}{30}+\dfrac{1}{2}\div \dfrac{3}{4}\big)\cdot 12$
        $=\big(\dfrac{5}{12}-\dfrac{7}{30}+\dfrac{2}{3}\big)\cdot 12$
A continuació, continuem fent les operacions del parèntesi, que són sumes i restes, per tant reduïm a comú denominador ( $ \text{m.c.m}(12,30,3)=60$ ) i trobem que
      $\dfrac{5}{12}-\dfrac{7}{30}+\dfrac{1}{2}$
        $=\dfrac{5 \cdot (60 \div 12)}{60}-\dfrac{7 \cdot (60 \div 30) }{30}+\dfrac{1 \cdot ( 60 \div 2)}{2}$
        $=\dfrac{25}{60}-\dfrac{14}{60}+\dfrac{40}{60}$
        $=\dfrac{25-14+40}{60}$
        $=\dfrac{51}{60}$
        $=\dfrac{17}{30}$
Posem aquest resultat a la línia principal del càlcul i continuem
      $\big(\dfrac{5}{12}-\dfrac{7}{30}+\dfrac{2}{3}\big)\cdot 12$
        $=\dfrac{17}{20}\cdot 12$
        $=17\cdot \dfrac{12}{20}$
        $=17\cdot \dfrac{3}{5}$
        $=\dfrac{51}{5}$
$\square$

Fracciones equivalentes

Enunciat:
Donats els nombres racionals equivalents $\frac{a}{b}$ i $\frac{c}{d}$, justifiqueu la següent propietat:
                $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+c}{b+d}$

Solució:
Si
$\dfrac{a}{b}=\dfrac{a+c}{b+d}$
llavors,
$a\,(b+d)=b\,(a+c)$
és a dir
$a\,b+a\,d=b\,a+b\,c$
i, donat que $a\,b=b\,a$
la igualt anterior és equivalent a
$a\,b+a\,d=a\,b+b\,c$
Sumant $-a\,b$ a cada membre queda
$-a\,b+a\,b+a\,d=-a\,b+a\,b+b\,c$
i simplificant,
$a\,d=b\,c$
Finalment, dividint ambdós membres de la igualtat per $b\,d$ ens queda
$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$
Hem acabat.

Exemple:
Si
$\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{6}$
llavors
$\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2+4}{3+6}$
        $=\dfrac{6}{9}$

Comentari:
També es compleix que
$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a-c}{b-d}=\dfrac{c-a}{d-b}$

Exemple:
$\dfrac{24}{15}=\dfrac{8}{5}=\dfrac{16}{10}=\dfrac{-16}{-10}$

Observació:
Atenció, però. Tingueu en compte que a partir de
      $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$
no es pot caure en la temptació d'escriure coses errònies; per exemple, cal tenir en compte que
      $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \neq \dfrac{a\,c}{b\,d}$

Exemple:
$\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{6} \neq \dfrac{2 \cdot 4}{3 \cdot 6}$

$\square$

Operaciones combinadas ...

Enunciado:
1. Calcule el número entero resultante:
  a) $4\cdot ( 2 \cdot 3 -1)^2$

2. Calcule y exprese el resultado en forma de fracción ( simplificada ):
  b) $\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{5}{8}$
  c) $\dfrac{7}{2}\cdot \dfrac{4}{21}$
  d) $\dfrac{9}{2}\div \dfrac{3}{8}$

Solución:

$\square$