¿Qué tanto por ciento representa el $40\,\%$ del $20\,\%$ de una cierta cantidad?

ENUNCIADO:
¿ Qué tanto por ciento representa el $40\,\%$ del $20\,\%$ de una cierta cantidad ?.

SOLUCIÓN:
Denotando por $c$ dicha cantidad, la parte correspondiente al $40\,\%$ de la misma es $\dfrac{40}{100}\,c$, esto es $\dfrac{2}{5}\,c$.

Entonces, el $20\,\%$ -- que es lo mismo que $\dfrac{1}{5}$ -- de la cantidad parcial calculada es $\dfrac{20}{100} \left( \dfrac{2}{5}\,c \right)$ es igual a
$$\dfrac{1}{5} \left( \dfrac{2}{5}\,c \right) $$
es decir
$$\dfrac{2}{25}\,c$$
que es lo mismo que
$$\dfrac{8}{100}\,c$$

y, por tanto, el tanto por ciento pedido es del $8\,\%$

OBSERVACIÓN:
Con ello vemos que basta con expresar los tantos por ciento en tantos por uno y multiplicar ambos para obtener el tanto por uno resultante:
$$0,4 \cdot 0,2 = 0,08$$
para, a continuación, expresar dicho tanto por uno resultante en tanto por ciento
$$0,08 = \dfrac{8}{100} = 8\,\%$$

Así, si se tratara de calcular el tanto por ciento resultante de una cadena de más de dos tantos por ciento sucesivos de una cierta cantidad, pongamos por ejemplo que el $10\,\%$ del $20\,\%$ del $50\,\%$, el tanto por ciento equivalente seria: $0,10 \cdot 0,20 \cdot 0,50 = 0,02 \cdot 0,50 = 0,10 $ ( en tanto por uno ), luego expresándolo en tanto por cien, esto representa el $10\,\%$.

$\square$

¿A qué tanto por ciento de una cierta cantidad equivale el $2\,\%$ del $10\,\%$ de la misma?

Enunciado:
¿A qué tanto por ciento de una cierta cantidad equivale el $2\,\%$ del $10\,\%$ de la misma?

Resolución:
Denotemos por $t$ al tanto por ciento pedido, entonces $\dfrac{t}{100}=\dfrac{2}{100}\cdot \dfrac{10}{100}$, de donde despejando $t$ obtenemos $t=\dfrac{2}{10}=\dfrac{0,2}{100}$, es decir, $t=0,2\,\%$

[nota del autor]