La suma de dos números naturales es $15$ y al dividir el mayor entre el menor se obtiene cociente igual a $1$ y resto igual a $1$. ¿De qué números estamos hablando?

Enunciado:
La suma de dos números naturales es $15$ y al dividir el mayor entre el menor se obtiene cociente igual a $1$ y resto igual a $1$. ¿De qué números estamos hablando?

Resolución:
Sean $x$ e $y$ ( $x \succ y$ ) los números naturales pedidos, entonces:

$\left.\begin{matrix} x+y=15 \\ x=1\cdot y+1 \\ \end{matrix}\right\}$

donde la segunda ecuación viene del Teorema de la División Entera: el dividendo ( que es $x$ ) es igual al divisor (que es $y$), por el cociente ( que es $1$ ), más el resto ( que es $1$ )

esto es

$\left.\begin{matrix} x+y=15 \\ x=y+1 \\ \end{matrix}\right\}$

sustituyendo la expresión del segundo miembro de la segunda ecuación ( que representa la incógnita $x$ ) en el lugar de $x$ de la primera ecuación, obtenemos:

$$(y+1)+y=15$$

de aquí

$(y+1)+y=15$

  $y+y+1=15$

    $2\,y+1=15$

    $2\,y+1-1=15-1$

      $2\,y+0=14$

      $2\,y=14$

        $\dfrac{1}{2}\cdot 2\,y=\dfrac{1}{2}\cdot 14$

        $\dfrac{1\cdot 2}{2}\,y=\dfrac{1 \cdot 14}{2}$

          $\dfrac{2}{2}\,y=\dfrac{14}{2}$

            $1\cdot y=7$

              $y=7$

$\blacksquare$

[nota del autor]