Políedros regulares

PASADO A LOS BLOGS

A l'escrit anterior parlava del teorema d'Euler, vàlid per als poliedres convexos, que són els que no tenen entrades. Tenim un eina valuosa per investigar les relacions dels poliedres: un graf planar que anomenem diagrama d'Schlegel. Tot poliedre convex el podem representar per un graf planar, resultat d'imaginar el poliedre col·lapsat sobre un pla, fent distinció de totes les seves arestes i vèrtexs. Doncs bé, un graf planar compleix que v-a+c=1 (on, ara, v representa un punt on hi van a parar vàries arestes i, per cara, entenem l'espai de pla tancat per dues arestes les quals no cal que les dibuixem pas rectilínies. De fet, si comptem la cara exterior com una cara més, podem expressar-lo talment com el teorema d'Euler, v-a+c=2. La figura mostra els grafs corresponents al tetraedre (v=4, a=6, c=3) i a l'ocatedre (c=8, v=9, a = 16). Observem que, efectivament, es compleix el resultat que comento: 4-6+3=1, i 9-16+8=1), de la mateixa manera que es compleix en tots els grafs planars Tot això té interessants aplicacions, com ara el disseny i anàlisi de circuïts elèctrics, anàlisi de l'estructura molecular.