Relaciones útiles para calcular el volumen de un tronco de cono y el volumen de un tronco de pirámide

El problema de calcular el volumen de un tronco - pongamos que el de un cono, o el de una pirámide - se resuelve restando el volumen de la parte del cuerpo que truncamos del volumen del cuerpo completo.

TRONCO DE CONO
Así, al calcular el volumen de un tronco de cono, $V_{t.c.}$, conocido el valor del radio de cada una de las dos bases ( el mayor, $r_1$; y el menor, $r_2$ ) y la distancia entre ellas ( que denotamos por $d$ ), hemos deducido en clase tres relaciones que convendría apuntarlas en el formulario de ayuda para los exámenes:
(1) Denotando por $h_1$ la altura del cono completo, y por $h_2$ la del cono que truncamos, se cumple que $h_2+d=h_1$
(2) Cortando el cono por un plano axial, y empleando el Teorema de Tales, hemos visto que $\dfrac{h_1}{h_2}=\dfrac{r_1}{r_2}$
(3) Y, desde luego, $V_{t.c.}=\dfrac{1}{3}\,\pi\,r_{1}^{2}\,h_1-\dfrac{1}{3}\,\pi\,r_{2}^{2}\,h_2$

TRONCO DE PIRÁMIDE DE BASE CUADRADA
Por otra parte, al calcular el volumen de un tronco de pirámide, de base un cuadrado, $V_{t.p.b.c.}$, conocido el valor del lado de cada una de las dos bases ( el mayor, $l_1$; y el menor, $l_2$ ) y la distancia entre ellas ( que denotamos por $d$ ), también hemos deducido en clase tres relaciones que conviene apuntarlas en el formulario de ayuda para los exámenes:
(1) Denotando por $h_1$ la altura de la pirámide completa, y por $h_2$ la de la pirámide que truncamos, se cumple que $h_2+d=h_1$
(2) Cortando el cono por un plano axial que pose por los centros de ambas bases, y empleando el Teorema de Tales, hemos visto que $\dfrac{h_1}{h_2}=\dfrac{l_1}{l_2}$
(3) Y, desde luego, $V_{t.p.b.c.}=\dfrac{1}{3}\,l_{1}^{2}\,h_1-\dfrac{1}{3}\,l_{2}^{2}\,h_2$

[nota del autor]