Problemas de movimiento a velocidad constante

Problema 1 Jaume i Magda, que es troben a 7 km l'un de l'altra, caminen en sentits oposats per un sender de muntanya a un ritme força constant: Josep a una velocitat constant de 2 km/h; i Marta, a una velocitat constant de 3 km/h. Si surten a la mateixa hora, quant de temps passarà fins que es trobin ? A quina distància del punt de sortida de Josep es troben ? Resolució Sovint hom recorre a l'àlgebra per calcular una cosa com aquesta. De fet, no cal pas; n'hi ha prou a fer servir una senzilla proporció, cosa que permet trobar la solució fent càlcul mental. Vegem tot seguit com es pot fer. Com que en 1 h, la distància conjunta que recorren és de 5 km (comentari: aquesta velocitat de 5 km/h la podem entendre com la velocitat relativa: com si un dels dos es trobés en el punt de trobada, parat, i l'altre es mogués vers ell a aquesta velocitat), el temps t que cal per recorre una distància conjunta de 7 km surt de la proporció directa: t/7 = 1/5 D'aquí, t = 7/5 h = 1,4 h = 1 h i 12 min Per contestar la segona pregunta, el raonament aritmètic és encara més senzill: com que mantenint la velocitat, Josep recorre 2 km en 1 hora, en 7/5 h recorrerà 2.(7/5) = 14/5 km = 2,8 km = 2 km i 800 m desdel punt que ha començat a caminar Problema 2 Jaume i Magda, corren una marató. Com que estan ben entrenats, mantenen prou bé la velocitat: De mitjana, Jaume pot assolir un ritme de 4 minuts per quilòmetre, i Magda, necessita 5 minuts per recorre aquesta distància. Jaume ha arribat tard a la sortida: calcula que quan surt, Magda es troba a 1 quilòmetre de distància. Havien decidit anar junts fins a l'arribada. Quan de temps necessita Jaume per donar-li abast ? A quina distància de la sortida començaran a córrer junts ? Resolució Segons les dades de l'enunciat, Magda corre a una velocitat constant de 1/5 Km/min quan Jaume pren la sortida, a la màxima velocitat que pot assolir per tal de donar-li abast, 1/5 km/min. Fem, ara, la següent consideració per pensar la solució del problema d'una forma equivalent més senzilla, de tal manera que Jaume pugui calcular mentre corre (tingueu en compte que quan es fa exercici físic ens costa calcular): la situació equival a que Jaume corri a una velocitat relativa de 1/4 -1/5 = 1/20 km/min, i Magada estigui aturada a 1 km de distància. Vist així, és molt senzill: a Jaume li calen 20 minutos per recorrer aquest quilòmetre. Aquest és el temps que necessitarà per donar-li abast. La distància a què es troben del punt de sortida quan això succeeix és de: 20 min x 1/4 km/min = 5 km. Per cert, els queden 35 km i 195 m per correr junts ! (la distància que es corre en una marató és de 42 km i 195 m).