A vueltas con el teorema de Pitágoras

Exercici sobre el càlcul de l'àrea d'un triangle rectangle

Enunciat:
Calculeu l'àrea del triangle rectangle de la figura

Resolució.
$A=\dfrac{6 \cdot a }{2} \quad \quad (1)$
Calcularem l'altura $a$ a partir del triangle rectangle (la meitat del t. equilater):
$10^2=a^2+6^2$ (teorema de Pitàgores)
d'on
$a^2=100-36$
és a dir
$a^2=64$
i, per tant
$a=\sqrt{64} = 8 \; \text{cm}$
i, per tant, posant això a l'expressió de l'àrea (1), trobem
$A=\dfrac{6 \cdot 8}{2} \; \text{cm}^2$
que, simplificada, queda
$A = 24 \; \text{cm}^2$
$\square$

Construir un triángulo con regla y compás ...

ENUNCIADO. Sean tres segmentos, de longitudes $3$, $4$ y $5$ centímetros, respectivamente. Construir ( con regla y compás ) el triángulo que tenga por lados estos tres segmentos. El mayor de los ángulos debe medir un ángulo recto, ¿ por qué ?.

SOLUCIÓN. Las longitudes de los tres lados forman una terna pitagórica ( se cumple el teorema de Pitágoras; en efecto, $5^2=3^2+4^2$, ya que $25=9+16$ ) por lo cual, dicho triángulo debe tener un ángulo recto ( por ser un triángulo rectángulo ). Veamos la construcción:

$\square$

Dibujar y denominar los elementos de un triángulo rectángulo ...

ENUNCIADO. Dibujar un triángulo rectángulo cuyos catetos sean de distinta longitud. A continuación, denominar los vértices, los lados y los ángulos de dicho triángulo ( empleando el convenio de notación explicado en clase ). Y, finalmente, explicar qué dice el teorema de Pitágoras.

SOLUCIÓN.

Nota: Si la hipotenusa es un diámetro de una circunferencia, entonces ( propiedad ) cualquier punto sobre la misma determina un triángulo rectángulo con los extremos de dicho diámetro.


También podemos denominar los ángulos de la siguiente manera:
$\alpha \equiv \angle ( CAB )$
$\beta \equiv \angle ( ABC )$
$\gamma \equiv \angle ( BCA ) $
$\square$

¿ Es posible construir un marco en forma de triángulo rectángulo isósceles de forma que ... ?

ENUNCIADO. Un carpintero quiere construir un marco que tenga forma de triángulo rectángulo isósceles ( una escuadra ), de forma que, tomando como base la hipotenusa del mismo, la altura de dicho triángulo mida $3$ decímetros. Dispone para ello de un listón de madera de $15$ decímetros. ¿ Es suficiente la longitud del listón para poder construir la escuadra ?.

SOLUCIÓN. La altura del triángulo referida en el enunciado divide a al triángulos en dos triángulos rectángulos isósceles iguales, y a la base correspondiente ( la hipotenusa del triángulo rectángulo isósceles ), en dos segmentos iguales cuya longitud debe ser, por tanto, igual a la de la altura, esto es, de $3\;\text{dm}$.

Así, el perímetro del triángulo es igual a $2(3+x)$, donde $x$ representa la longitud de cada uno de los dos catetos; ahora bien, por el teorema de Pitágoras aplicado a cualquiera de los dos triángulos rectángulos isósceles en que queda dividido el triángulo rectángulo isósceles que queremos construir, podemos escribir que $x^2=3^2+3^2$ y, por tanto, $x=3\,\sqrt{2}\,\text{dm}$. Esto nos permite calcular ya el valor del perímetro del triángulo rectángulo isósceles que queremos construir: $P=2(3+x)=2(3+3\,\sqrt{2})=6\,(\sqrt{2}+1) \approx 14,49 \; \text{dm}$, que es menor que la longitud del listón disponible.

Por consiguiente podemos afirmar que sí es suficiente dicho listón para poder cortar los tres trozos necesarios para la construcción del triángulo rectángulo isósceles pedido. Y sus medidas son las siguientes: hipotenusa, $2\cdot 3=6\; \text{dm}$; y, cada uno de los dos catetos, $x=3\,\sqrt{2} \approx 4,24 \; \text{dm}$
$\square$

Los lados de un triángulo rectángulo miden

Enunciat:
Els costats d'un triangle rectangle mesuren $6 \; \text{cm}$, $8 \; \text{cm}$, i $10 \; \text{cm}$. Us demanem:
    a) Un dibuix esquemàtic del triangle, posant les lletres convenients (respecteu el conveni) als vèrtexs, als costats, i als angles
    b) Construïu, amb regle i compàs, el triangle (a escala, si cal)
    c) Calculeu l'àrea del triangle
    d) Calculeu el perímetre del triangle

Resolució:
  a)

$\square$

  b)
Adoneu-vos que es tracta d'un triangle rectangle; per això, tan sols cal que observeu que les longituds dels costats $\{6,8,10\}$ formen una terna pitagòrica, o bé, feu un cop d'ull a la figura que hem dibuixat a l'apartat anterior: l'angle que formen els dos costats més curts és un angle recte.

Llavors, l'àrea serà igual a
$\mathcal{A}=\dfrac{6 \cdot 8}{2}=24 \, \text{cm}^2$

$\square$

  b)
El perímetre (suma de les longituds dels tres costats) és igual a
$\mathcal{P}=24 \, \text{cm}$
$\square$

Las longitudes de los lados de un cierto triángulo rectángulo que corresponden a una terna pitagórica ...

Enunciat:
Les longituds dels costats d'un triangle són $6 \, \text{dm}$, $8 \, \text{dm}$ i $10 \, \text{dm}$. Quin tipus de triangle és ?.

Solució:
Observem que el conjunt dels tres nombres que corresponen a les longituds dels costats $(6,8,10)$ és una terna pitagòrica; en efecte, $10^2$ ( que és $100$ ) és igual a la suma de $8^2$ ( que és $64$ ) i $6^2$ ( que és $36$ ), per tant el triangle donat és un triangle rectangle ( l'angle que formen els dos costats més curts és de $90^{\circ}$ ). $\square$