¿ Es posible construir un marco en forma de triángulo rectángulo isósceles de forma que ... ?

ENUNCIADO. Un carpintero quiere construir un marco que tenga forma de triángulo rectángulo isósceles ( una escuadra ), de forma que, tomando como base la hipotenusa del mismo, la altura de dicho triángulo mida $3$ decímetros. Dispone para ello de un listón de madera de $15$ decímetros. ¿ Es suficiente la longitud del listón para poder construir la escuadra ?.

SOLUCIÓN. La altura del triángulo referida en el enunciado divide a al triángulos en dos triángulos rectángulos isósceles iguales, y a la base correspondiente ( la hipotenusa del triángulo rectángulo isósceles ), en dos segmentos iguales cuya longitud debe ser, por tanto, igual a la de la altura, esto es, de $3\;\text{dm}$.

Así, el perímetro del triángulo es igual a $2(3+x)$, donde $x$ representa la longitud de cada uno de los dos catetos; ahora bien, por el teorema de Pitágoras aplicado a cualquiera de los dos triángulos rectángulos isósceles en que queda dividido el triángulo rectángulo isósceles que queremos construir, podemos escribir que $x^2=3^2+3^2$ y, por tanto, $x=3\,\sqrt{2}\,\text{dm}$. Esto nos permite calcular ya el valor del perímetro del triángulo rectángulo isósceles que queremos construir: $P=2(3+x)=2(3+3\,\sqrt{2})=6\,(\sqrt{2}+1) \approx 14,49 \; \text{dm}$, que es menor que la longitud del listón disponible.

Por consiguiente podemos afirmar que sí es suficiente dicho listón para poder cortar los tres trozos necesarios para la construcción del triángulo rectángulo isósceles pedido. Y sus medidas son las siguientes: hipotenusa, $2\cdot 3=6\; \text{dm}$; y, cada uno de los dos catetos, $x=3\,\sqrt{2} \approx 4,24 \; \text{dm}$
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