ENUNCIADO. Queremos vallar una finca agraria que tiene forma cuadrada y cuya área es de $1$ hectárea. ¿ Cuántos metros de valla necesitaremos ?
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Como $1$ hectárea equivale a $10\,000$ metros cuadrados, y la finca tiene forma cuadrada de lado $\ell$, entonces $\ell^2=10\,000$, luego $\ell=|\sqrt{10\,000}|=100\,\text{m}$, así que el perímetro de la finca tiene una longitud iguala $4\,\ell=4\cdot 100= 400\,\text{m}$, por lo que necesitaremos $400\,\text{m}$ de valla.
Mostrando entradas con la etiqueta área. Mostrar todas las entradas
Mostrando entradas con la etiqueta área. Mostrar todas las entradas
lunes, 11 de mayo de 2020
miércoles, 18 de marzo de 2020
Ejercicio 4 de la semana del 16 al 22 de marzo de 2020 - Cálculo del área de un poliedro regular
Ejercicio 8 de la página 195
ENUNCIADO. Calcula el área de un tetraedro, la de un hexaedro, la de un octaedro y la de un icosaedro, todos ellos regulares de 10 cm de arista.
INDICACIÓN. Lee las páginas 194 y 195 del libro base
SOLUCIÓN.
ENUNCIADO. Calcula el área de un tetraedro, la de un hexaedro, la de un octaedro y la de un icosaedro, todos ellos regulares de 10 cm de arista.
INDICACIÓN. Lee las páginas 194 y 195 del libro base
SOLUCIÓN.
lunes, 16 de marzo de 2020
Ejercicio 3 de la semana del 9 de marzo al 15 de marzo de 2020
Ejercicio número 86 de la página 207 del libro de texto base
ENUNCIADO. Halla el volumen de la escalera de la figura. Cada escalón mide lo mismo de altura y de profundidad. Si ponemos una alfombra cara cubrir los peldaños, ¿ qué superficie debe tener ?
SOLUCIÓN.
ENUNCIADO. Halla el volumen de la escalera de la figura. Cada escalón mide lo mismo de altura y de profundidad. Si ponemos una alfombra cara cubrir los peldaños, ¿ qué superficie debe tener ?
SOLUCIÓN.
RMT - Ejercicio 2 de la semana del 16 de marzo al 22 de marzo de 2020
ENUNCIADO. Calcula el área de un cuadrado inscrito en una circunferencia de 4 dm de radio
SOLUCIÓN.
SOLUCIÓN.
RMT - Ejercicio 2 de la semana del 9 al 15 de marzo
ENUNCIADO. Busca en Wikipedia las medidas de un campo de juego reglamentario de fútbol y calcula su área y su perímetro. ¿ Cuál es el número de vueltas que debemos dar al campo para asegurarnos de haber recorrido 7 kilómetros ?.
SOLUCIÓN.
SOLUCIÓN.
lunes, 10 de octubre de 2016
Exercici sobre el càlcul de l'àrea d'un triangle rectangle
Enunciat:
Calculeu l'àrea del triangle rectangle de la figura
Resolució.
$A=\dfrac{6 \cdot a }{2} \quad \quad (1)$
Calcularem l'altura $a$ a partir del triangle rectangle (la meitat del t. equilater):
$10^2=a^2+6^2$ (teorema de Pitàgores)
d'on
$a^2=100-36$
és a dir
$a^2=64$
i, per tant
$a=\sqrt{64} = 8 \; \text{cm}$
i, per tant, posant això a l'expressió de l'àrea (1), trobem
$A=\dfrac{6 \cdot 8}{2} \; \text{cm}^2$
que, simplificada, queda
$A = 24 \; \text{cm}^2$
$\square$
jueves, 29 de septiembre de 2016
Un exercici sobre el càlcul de l'àrea i del perímetre d'una figura plana
Enunciat:
Calculeu l'àrea de la figura i la longitud del seu contorn
Resolució:
Observant la figura de sota és evident que l'àrea demanada és igual a l'àrea del mig cercle de radi igual a $2 \; \text{cm}$, és a dir
$A=\dfrac{1}{2}\, \pi \cdot 2^2 \approx 6 \; \text{cm}^2 $
Pel que fa a la longitud del contorn, és igual
$\dfrac{1}{2} \Big( \, 2\, \pi \cdot 2 \Big) + 2\, \pi \cdot 1 \approx 13 \; \text{cm}$
$\square$
Calculeu l'àrea de la figura i la longitud del seu contorn
Resolució:
Observant la figura de sota és evident que l'àrea demanada és igual a l'àrea del mig cercle de radi igual a $2 \; \text{cm}$, és a dir
$A=\dfrac{1}{2}\, \pi \cdot 2^2 \approx 6 \; \text{cm}^2 $
Pel que fa a la longitud del contorn, és igual
$\dfrac{1}{2} \Big( \, 2\, \pi \cdot 2 \Big) + 2\, \pi \cdot 1 \approx 13 \; \text{cm}$
$\square$
martes, 6 de septiembre de 2016
Área y perímetro de un trapecio isósceles
ENUNCIADO. Calcular el área y el perímetro de un trapecio isósceles tal que la longitud de cada uno de los lados oblicuos es igual a $5$ decímetros, siendo las longitudes de los lados paralelos $7$ y $13$ decímetros, respectivamente.
SOLUCIÓN.
El área $\mathcal{A}$ del trapecio viene dada por la semisuma de las longitudes de los lados paralelos multiplicada por la distancia ( perpendicular ) entre éstos, es decir, $$\mathcal{A}=\dfrac{7+13}{2}\,h \quad \quad (1)$$ Debemos, pues, determinar el valor de $h$. Pare ello, utilizamos el teorema de Pitágoras aplicado al triángulo rectángulo resaltado, así $h^2=5^2-3^2$, y por tanto, $h^2=16$, con lo cual $h=\sqrt{16}=4\,\text{dm}$. Sustituyendo este resultado en (1) obtenemos $$\mathcal{A}=\dfrac{7+13}{2}\cdot 4= 40\,\text{dm}^2$$
Por otra parte, el perímetro ( la suma de las longitudes de los lados ) se calcula aquí de forma directa: $$\mathcal{P}=2\cdot 5+10+7= 30\,\text{dm}$$
$\square$
SOLUCIÓN.
El área $\mathcal{A}$ del trapecio viene dada por la semisuma de las longitudes de los lados paralelos multiplicada por la distancia ( perpendicular ) entre éstos, es decir, $$\mathcal{A}=\dfrac{7+13}{2}\,h \quad \quad (1)$$ Debemos, pues, determinar el valor de $h$. Pare ello, utilizamos el teorema de Pitágoras aplicado al triángulo rectángulo resaltado, así $h^2=5^2-3^2$, y por tanto, $h^2=16$, con lo cual $h=\sqrt{16}=4\,\text{dm}$. Sustituyendo este resultado en (1) obtenemos $$\mathcal{A}=\dfrac{7+13}{2}\cdot 4= 40\,\text{dm}^2$$
Por otra parte, el perímetro ( la suma de las longitudes de los lados ) se calcula aquí de forma directa: $$\mathcal{P}=2\cdot 5+10+7= 30\,\text{dm}$$
$\square$
martes, 14 de junio de 2016
Área de un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio dado
ENUNCIADO. Calcular el área y el perímetro de un cuadrado inscrito en una circunferencia de $5$ centímetros de radio. ¿ Cuál es el área de uno de los cuatro segmentos circulares delimitados por la circunferencia y los lados del cuadrado ?
SOLUCIÓN.
Procedimiento I:
El cuadrado inscrito en la circunferencia se divide en ocho triángulos rectángulos isósceles. La hipotenusa de cada uno de esos triángulos rectángulos isósceles es igual al radio de la circunferencia y por tanto mide $5$ centímetros. Llamemos $\ell$ a la longitud de sus catetos ( que son iguales ). El área de uno de dichos triángulos rectángulos isósceles ( de color marrón en la figura ) es igual a $\dfrac{1}{2}\,\ell\cdot \ell$, por lo tanto, el área del cuadrado es $\mathcal{A}=8\cdot ( \dfrac{1}{2}\,\ell\cdot \ell )= 4\,\ell^2 \quad \quad (1)$.
Es necesario, pues, calcular el valor de $\ell$; por el teorema de Pitágoras, $5^2=\ell^2+\ell^2$, esto es, $2\,\ell^2 \cdot 5^2$, luego $\ell^2=\dfrac{5^2}{2}$. Y sustituyendo este resultado en (1) resulta $\mathcal{A}= 4\cdot \dfrac{5^2}{2}=2\cdot 25 = 50\; \text{cm}^2$
Procedimiento II:
Otra manera de resolverlo, más sencilla, consiste en fijarnos en el triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos son igual al radio ( $5\,\text{cm}$ ) y que en la figura está sombreado en azul. El área de uno de esos triángulos rectángulos isósceles es igual a $\dfrac{1}{2}\,5 \cdot 5 = \dfrac{25}{2}\; \text{cm}^2$; y, como el cuadrado se divide en cuatro de esos triángulos rectángulos isósceles, el área del mismo es $\mathcal{A}= 4 \cdot \dfrac{25}{2} = 2 \cdot 25 = 50 \; \text{cm}^2$
$\square$
SOLUCIÓN.
Procedimiento I:
El cuadrado inscrito en la circunferencia se divide en ocho triángulos rectángulos isósceles. La hipotenusa de cada uno de esos triángulos rectángulos isósceles es igual al radio de la circunferencia y por tanto mide $5$ centímetros. Llamemos $\ell$ a la longitud de sus catetos ( que son iguales ). El área de uno de dichos triángulos rectángulos isósceles ( de color marrón en la figura ) es igual a $\dfrac{1}{2}\,\ell\cdot \ell$, por lo tanto, el área del cuadrado es $\mathcal{A}=8\cdot ( \dfrac{1}{2}\,\ell\cdot \ell )= 4\,\ell^2 \quad \quad (1)$.
Es necesario, pues, calcular el valor de $\ell$; por el teorema de Pitágoras, $5^2=\ell^2+\ell^2$, esto es, $2\,\ell^2 \cdot 5^2$, luego $\ell^2=\dfrac{5^2}{2}$. Y sustituyendo este resultado en (1) resulta $\mathcal{A}= 4\cdot \dfrac{5^2}{2}=2\cdot 25 = 50\; \text{cm}^2$
Procedimiento II:
Otra manera de resolverlo, más sencilla, consiste en fijarnos en el triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos son igual al radio ( $5\,\text{cm}$ ) y que en la figura está sombreado en azul. El área de uno de esos triángulos rectángulos isósceles es igual a $\dfrac{1}{2}\,5 \cdot 5 = \dfrac{25}{2}\; \text{cm}^2$; y, como el cuadrado se divide en cuatro de esos triángulos rectángulos isósceles, el área del mismo es $\mathcal{A}= 4 \cdot \dfrac{25}{2} = 2 \cdot 25 = 50 \; \text{cm}^2$
$\square$
Área y perímetro de un sector circular
ENUNCIADO. Calcular el perímetro y el área de un sector circular de $150^{\circ}$ de amplitud angular, y de radio igual a $10$ centímetros.
SOLUCIÓN.
El área del círculo completo es igual a $\pi\cdot 10^2 = 100\,\pi\; \text{cm}^2$ y el perímetro es igual a $2\cdot\pi\cdot 10=20\,\pi\;\text{cm}$. Como, en un sector circular, ambas magnitudes son proporcionales al ángulo central de dicho sector, $$\dfrac{ \mathcal{A}_\text{sector}}{150^{\circ}}=\dfrac{100\,\pi}{360^{\circ}}\Rightarrow \mathcal{A}_\text{sector}=\dfrac{150}{360}\cdot 100\,\pi=\dfrac{5}{12}\cdot 100\,\pi=\dfrac{125}{3}\,\pi\; \text{cm}^2 \approx 131\;\text{cm}^2$$
La longitud del arco del sector circular se calcula también mediante una proporción similar:$$\dfrac{ \ell_\text{arco}}{150^{\circ}}=\dfrac{20\,\pi}{360^{\circ}}\Rightarrow \ell_{\text{arco}}=\dfrac{150}{360}\cdot 20\,\pi=\dfrac{25}{3}\,\pi\; \text{cm} \approx 26\;\text{cm}$$ por lo tanto, y añadiendo la longitud de los dos radios, resulta que el perímetro del sector es igual a $$\mathcal{P}_{\text{sector}}=\ell+2\,r=\dfrac{25}{3}\,\pi+2\cdot 10=\dfrac{25}{3}\,\pi+20\; \text{cm} \approx 46\;\text{cm}$$
$\square$
SOLUCIÓN.
El área del círculo completo es igual a $\pi\cdot 10^2 = 100\,\pi\; \text{cm}^2$ y el perímetro es igual a $2\cdot\pi\cdot 10=20\,\pi\;\text{cm}$. Como, en un sector circular, ambas magnitudes son proporcionales al ángulo central de dicho sector, $$\dfrac{ \mathcal{A}_\text{sector}}{150^{\circ}}=\dfrac{100\,\pi}{360^{\circ}}\Rightarrow \mathcal{A}_\text{sector}=\dfrac{150}{360}\cdot 100\,\pi=\dfrac{5}{12}\cdot 100\,\pi=\dfrac{125}{3}\,\pi\; \text{cm}^2 \approx 131\;\text{cm}^2$$
La longitud del arco del sector circular se calcula también mediante una proporción similar:$$\dfrac{ \ell_\text{arco}}{150^{\circ}}=\dfrac{20\,\pi}{360^{\circ}}\Rightarrow \ell_{\text{arco}}=\dfrac{150}{360}\cdot 20\,\pi=\dfrac{25}{3}\,\pi\; \text{cm} \approx 26\;\text{cm}$$ por lo tanto, y añadiendo la longitud de los dos radios, resulta que el perímetro del sector es igual a $$\mathcal{P}_{\text{sector}}=\ell+2\,r=\dfrac{25}{3}\,\pi+2\cdot 10=\dfrac{25}{3}\,\pi+20\; \text{cm} \approx 46\;\text{cm}$$
$\square$
Suscribirse a:
Entradas (Atom)