Área de un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio dado

ENUNCIADO. Calcular el área y el perímetro de un cuadrado inscrito en una circunferencia de $5$ centímetros de radio. ¿ Cuál es el área de uno de los cuatro segmentos circulares delimitados por la circunferencia y los lados del cuadrado ?

SOLUCIÓN.
Procedimiento I:
El cuadrado inscrito en la circunferencia se divide en ocho triángulos rectángulos isósceles. La hipotenusa de cada uno de esos triángulos rectángulos isósceles es igual al radio de la circunferencia y por tanto mide $5$ centímetros. Llamemos $\ell$ a la longitud de sus catetos ( que son iguales ). El área de uno de dichos triángulos rectángulos isósceles ( de color marrón en la figura ) es igual a $\dfrac{1}{2}\,\ell\cdot \ell$, por lo tanto, el área del cuadrado es $\mathcal{A}=8\cdot ( \dfrac{1}{2}\,\ell\cdot \ell )= 4\,\ell^2 \quad \quad (1)$.

Es necesario, pues, calcular el valor de $\ell$; por el teorema de Pitágoras, $5^2=\ell^2+\ell^2$, esto es, $2\,\ell^2 \cdot 5^2$, luego $\ell^2=\dfrac{5^2}{2}$. Y sustituyendo este resultado en (1) resulta $\mathcal{A}= 4\cdot \dfrac{5^2}{2}=2\cdot 25 = 50\; \text{cm}^2$

Procedimiento II:
Otra manera de resolverlo, más sencilla, consiste en fijarnos en el triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos son igual al radio ( $5\,\text{cm}$ ) y que en la figura está sombreado en azul. El área de uno de esos triángulos rectángulos isósceles es igual a $\dfrac{1}{2}\,5 \cdot 5 = \dfrac{25}{2}\; \text{cm}^2$; y, como el cuadrado se divide en cuatro de esos triángulos rectángulos isósceles, el área del mismo es $\mathcal{A}= 4 \cdot \dfrac{25}{2} = 2 \cdot 25 = 50 \; \text{cm}^2$



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