Un ejercicio sobre cuerpos de revolución. Cono.

ENUNCIADO. La generatriz de un cono mide $5$ decímetros, y el radio de la base $3$ decímetros. Se pide:
a) Dibujar una figura esquemática del cono y anotar en ella las medidas
b) Calcular el volumen del cono
c) Dibujar una figura esquemática del desarrollo plano del cono y anotar en ella las medidas que vienen dadas en el enunciado \par
d) Calcular el área lateral del cono
e) Calcular el área de la base
f) Calcular el área total del desarrollo plano del cono
g) Calcular el ángulo del trazado en el desarrollo plano de la superficie lateral del cono

SOLUCIÓN.
a)

b)
El volumen del cono viene dado por $V=\dfrac{1}{3}\,\pi\cdot r^2\cdot h \quad \quad (1)$, donde $h$ representa la altura del cono, esto es, la longitud del segmento $OQ$. Debemos, pues calcular su valor; si nos fijamos en el triángulo rectángulo $\triangle\{OPQ\}$, podemos aplicar el teorema de Pitágoras, $h^2+r^2=g^2$ ( donde $g$ indica la generatriz y $r$ el radio de la base ). Poniendo los datos del problema, $$h^2+3^2=5^2$$ luego $h^2=5^2-3^2=16$ y, por tanto, $h=\sqrt{16}=4\,\text{dm}$; con lo cual, de (1), $$V=\dfrac{1}{3}\,\pi\cdot 3^2\cdot 4=12\,\pi\;\text{dm}^3\approx 38\;\text{dm}^3$$

c)
El área lateral del cono viene dada por $\mathcal{A}_{\text{lateral}}=\pi\cdot r \cdot g$ y, poniendo los datos del problema, obtenemos $\mathcal{A}_{\text{lateral}}=15\,\pi \;\text{dm}^2\approx 47\;\text{dm}^2$

d)
El área de la base es $\mathcal{A}_{\text{base}}=\pi\cdot r^2$, y con los datos del problema obtenemos $$\mathcal{A}_{\text{base}}=\pi\cdot 3^2=9\,\pi\;\text{dm}^2 \approx 28\;\text{dm}^2$$

e)
El área total del desarrollo plano del cono es la suma del área de la base y del área lateral, luego su valor es $15\,\pi+9\,\pi=24\,\pi\;\text{dm}^2 \approx 75\;\text{dm}^2$

f)
El ángulo central del sector circular, $\alpha$, que representa el desarrollo plano de la superficie lateral del cono se calcula mediante la siguiente proporción ( entre la amplitud angular y la longitud del arco), $$\dfrac{\alpha}{2\,\pi\cdot r}=\dfrac{360^{\circ}}{2\,\pi\cdot g}$$ por lo que, despejando $\alpha$, se obtiene $$\alpha=360^{\circ}\cdot \dfrac{r}{g}$$, que con los datos del problema tiene el siguiente valor $$\alpha=360^{\circ}\cdot \dfrac{3}{5} = 216^{\circ}$$
$\square$