RMT - Ejercicio 5 de la semana del 20 al 26 de abril de 2020 - Números triangulares

INDICACIÓN. Acuérdate de cómo hemos interpretado los números cuadrados

ENUNCIADO. Escribe los diez primeros números triangulares

NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

NOTA 2. En un plazo máximo de 48 horas añadiré la solución en esta misma entrada.

SOLUCIÓN. Si los números cuadrados se escriben calculando el valor numérico de la expresión $n^2$ para valores consecutivos $n=1,2,3,\ldots$, los números triangulares también pueden ir escribiéndose de una forma similar. Vamosa encontrar esa expresión algebraica.

El primer número triangular es 1
.
y es la mitad de
..

El segundo número triangular es 3, en efecto:
.
..
y es la mitad de
...
...

El tercer número triangular es 6, pues podemos configurarlo geometricamente así:
.
..
...
y es la mitad del rectángulo
....
....
....

El cuarto,
.
..
...
....
y es la mitad de
.....
.....
.....
.....

y así sucesivamente.


Vemos pues que una expresión que reproduce estos números es $\dfrac{n(n+1)}{2}$. Por consiguiente, dando los diez primeros a $n$, $1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$, podremos ir escribiendo los primeros diez números triangulares ( sustituyendo en la expresión que hemos deducido ):

$1\cdot 2)/2=1$

$2\cdot 3/2=3$

$3\cdot 4/2=6$

$4\cdot 5/2=10$

$5\cdot 6/2=15$

$6\cdot 7/2=21$

$7\cdot 8/2=28$

$8\cdot 9/2=36$

$9\cdot 10/2=45$

$10\cdot 11/2=55$

Fotografía de un número triangular

Madrid, Octubre de 1015

[ número triangular ]

[autoría]

Averiguar si el número $36$ es un n. triangular. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Esbrineu si el nombre natural $36$ és triangular.

Solució:
Si és un n. triangular ha d'existir un nombre $n \in \mathbb{N}$, més petit que $36$, tal que
                $\dfrac{n\,(n+1)}{2}=36$
Cal, per tant, resoldre aquesta equació; si algun dels valors de la solució és un nombre natural més petit que $36$. Vegem-ho:
Podem escriure l'equació de la forma
                $n^2+n-72=0$
que és una equació polinòmica de 2n grau completa. Resolent-la, obtenim dos valors com a solució: $-9$ ( que, en ser un nombre enter negatiu, no ens interessa ) i $8$, que sí satisfà la condició i, per tant, queda demostrat que $36$ és un nombre triangular.
$\square$