División entera

ENUNCIADO. Calcular el resto y el cociente de la siguiente división entera $$1258 \div 145$$

SOLUCIÓN. $\text{cociente}(1258 \div 145)=8$, ya que $8 \cdot 145 \prec 1258$ y $(8+1) \cdot 145 \succ 1258$; entonces $\text{resto}(1258 \div 145)=1258-8\cdot 145=98$
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[autoría]

Realizar la siguiente división con números enteros ...

ENUNCIADO:
Hallar el cociente y el resto de la división entera $-15 \div 7$

SOLUCIÓN:
El teorema de la división entera dice que dados dos números enteros cualesquiera $D$ y $d$, a los que denominamos dividendo y divisor, respectivamente, entonces podemos encontrar otros dos números enteros, $c$ y $r$, a los que denominamos cociente y resto de la división, que cumple las siguientes condiciones:
i) $D=d\cdot c +r$
y
ii) $0 \le r \prec |d|$ ( el resto es mayor o igual que cero y menor que el valor absoluto del divisor )

Procedemos a encontrar los números $c$ y $r$ que cumplen estas condiciones, siendo $D:=-15$ y $d:=7$. Para el cociente, probemos con un número tal que multiplicado por el divisor $7$ nos dé un número que se aproxime al dividendo, que es $-15$. Por la regla de los signos del producto, sabemos que debe ser negativo ( ya que el dividendo es negativo y el divisor positivo ); así que, ensayemos el número $c \rightarrow -2$. Como $-2 \cdot 7 = -14 \succ -15$, el resto de la división seria $-15-(7\cdot (-2)=-1\prec 0$, luego al ser el resto negativo se incumple la segunda condición y por tanto no podemos admitir $-2$ como cociente, así que pasemos al siguiente número entero más pequeño, es decir hagamos $c \rightarrow -3$. Como $-3 \cdot 7 = -21$, y el resto es $-15-(7\cdot (-3)=6\succ 0$ ( se cumple la segunda condición ), concluimos que $c=-3$, luego el resto de la división debe ser $-15-(-21)=-14+21=6$, es decir $r=6$.

Sólo nos falta comprobar que, con estos valores del cociente y resto, se cumple también la primera condición; en efecto: $-15=7\cdot (-3)+6$. Por consiguiente, podemos afirmar que el cociente y el resto pedidos son: $c=-3$ y $r=7$

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Usos de la calculadora científica

Enunciat:
Feu servir la calculadora científica bàsica per determinar el valor del quocient i del residu de la divisió entera $112\,563 \div (-259)$

Solució:
La calculadora científica bàsica no disposa de la funció MOD per calcular el valor del residu; com a recurs, podem efectuar la divisió decimal, obtenint el següent valor $-434,\overline{6061777}$, amb la qual cosa, podem afirmar que, éssent no nul·la la part decimal del quocient (de la divisió decimal), el residu del la divisió entera és diferent de zero. Llavors, si $D$ és el dividend, $d$ el divisor, $q$ el quocient, i $r$ el residu, pel teorema de la visió euclidiana, s'haurà de complir
    $D=d\cdot q+r \quad \text{on} \quad 0 \le r \prec \left|d\right|$

Efectuant la divisió:
      $q=-434$, ja que $-434 \cdot (-259) = 112\,406 \prec 112\,563$
      i, a partir d'aquest resultat, calculem el valor del residu:
      $r=112\,563-112\,406$
        $ = 157$

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