Ejercicio 3 de la semana del 25 al 31 de mayo de 2020 - Potencias. Múltiplos y submúltiplos del Sistema Métrico Decimal

ENUNCIADO. Ejercicio 104 de la página 70 del libro base ( Unidad Didáctica 3 ) - ligeramente modificado -
Dividimos un cuadrado de 1 metro de lado en cuatro cuadrados iguales; seleccionamos uno de ellos y lo dividimos también en cuatro cuadrados iguales, y así sucesivamente. Calcula:
a) La longitud del lado del cuadrado más pequeño después de hacer 10 iteraciones (expresada en notación científica y en micrómetros )
b) El área del cuadrado más pequeño después de 5 iteraciones ( expresada en notación científica y en micrómetros cuadrados )

AYUDA. $1\,\mu \text{m} = 10^{-6}\,\text{m}$

INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

SOLUCIÓN.
La longitud de los lados en las sucesivas iteraciones del proceso son:
$1/4\,,\,1/4^2\,,\,1/4^3,\ldots,1/4^n$, para $n=1,2,3,\ldots$
y las áreas de los cuadrados más pequeños que se obtienen en cada iteración son:
$(1/4)\cdot(1/4)\,,\,(1/4^2)\cdot (1/4)^2\,,\,(1/4^3)\cdot(1/4)^3,\ldots,(1/4^n)\cdot (1/4)^n$, para $n=1,2,3,\ldots$ ( metros cuadrados )
esto es
$1/4^2\,,\,1/4^4\,,\,1/4^6,\ldots,1/4^{2n}$, para $n=1,2,3,\ldots$ ( metros cuadrados )

Luego,
a) para $n:=10$, la longitud del lado del cuadrado más pequeño es igual a $1/4^{10}$ metros, esto es $=1/(2^{2})^{10}=1/2^{2\cdot 10}=1/2^{20}\,\text{m}=1/1\,048\,576 \approx 9,5367 \cdot 10^{-7}\, \text{m}$
 $= 0,9534\,\mu m = 9,534 \cdot 10^{-1}\,\mu m$

b) y para $n:=5$, el área del cuadrado más pequeño es igual a $1/4^{2\cdot 5}=1/4^{10}=1/(2^{2})^{10}=1/2^{2\cdot 10}$ metros cuadrados, esto es $1/2^{20}\,\text{m}^2=1/1\,048\,576 \approx 9,5367 \cdot 10^{-7}\, \text{m}^2 \cdot \dfrac{(10^6)^{2}}{1}\,\dfrac{\mu \text{m}^2}{\text{m}^2}=$
  $=0,9534 \cdot 10^5\,\mu \text{m}^2=9,534\cdot 10^{4}\,\mu \text{m}^2 $

RMT - Ejercicio 5 de la semana del 31 de marzo al 5 de abril - Operaciones con potencias de base entera y de exponente un número natural

ENUNCIADO. Escribe cada uno de los siguientes productos en forma de una única potencia:

a) $2^{5}\cdot 4^{2}$
b) $9^{2}\cdot 3^{4}$
c) $125^{3}\cdot 625^{6}$
d) $7^{2}\cdot 49^{3}$

NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

SOLUCIÓN.
a)
$2^{5}\cdot 4^{2}=$
  $=2^{5}\cdot (2^{2})^{2}$
    $=2^{5}\cdot 2^{2\cdot 2}$
      $=2^{5}\cdot 2^{4}$
        $=2^{5+4}$
          $=2^{9}$

b)
$9^{2}\cdot 3^{4}=$
  $=(3^{2})^{2}\cdot 3^{4}$
    $=3^{2\cdot 2}\cdot 3^{4}$
      $=3^{4}\cdot 3^{4}$
        $=3^{4+4}$
          $=3^{8}$

c)
$125^{3}\cdot 625^{6}=$
  $=(5^{3})^{3}\cdot (5^{4})^{6}$
    $=5^{3\cdot 3} \cdot 5^{4\cdot 6}$
      $=5^{9} \cdot 5^{24}$
        $=5^{9+24}$
          $=5^{33}$

d)
$7^{2}\cdot 49^{3}=$
  $=7^{2}\cdot (7^{2})^{3}$
    $=7^{2}\cdot 7^{2\cdot 3}$
      $=7^{2}\cdot 7^{6}$
        $=7^{2+6}$
          $=7^{8}$

Cálculo con potencias

Enunciado:
Expresar como una potencia única:
    $4^3\cdot 2^5 \div 8$

Solución:
Teniendo en cuenta que $4=2^2$
y que $8=2^3$, podemos escribir
    $4^3\cdot 2^5 \div 8$
de la forma
      $\big(2^2\big)^3\cdot 2^5 \div 2^3$
      $=2^{2 \cdot 3} \cdot 2^5 \div 2^3$
      $=2^{6} \cdot 2^5 \div 2^3$
      $=2^{6+5-3}$
      $=2^{8}$
$\square$

[nota del autor]