ENUNCIADO. Ejercicio 104 de la página 70 del libro base ( Unidad Didáctica 3 ) - ligeramente modificado -
Dividimos un cuadrado de 1 metro de lado en cuatro cuadrados iguales; seleccionamos uno de ellos y lo dividimos también en cuatro cuadrados iguales, y así sucesivamente. Calcula:
a) La longitud del lado del cuadrado más pequeño después de hacer 10 iteraciones (expresada en notación científica y en micrómetros )
b) El área del cuadrado más pequeño después de 5 iteraciones ( expresada en notación científica y en micrómetros cuadrados )
AYUDA. $1\,\mu \text{m} = 10^{-6}\,\text{m}$
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
La longitud de los lados en las sucesivas iteraciones del proceso son:
$1/4\,,\,1/4^2\,,\,1/4^3,\ldots,1/4^n$, para $n=1,2,3,\ldots$
y las áreas de los cuadrados más pequeños que se obtienen en cada iteración son:
$(1/4)\cdot(1/4)\,,\,(1/4^2)\cdot (1/4)^2\,,\,(1/4^3)\cdot(1/4)^3,\ldots,(1/4^n)\cdot (1/4)^n$, para $n=1,2,3,\ldots$ ( metros cuadrados )
esto es
$1/4^2\,,\,1/4^4\,,\,1/4^6,\ldots,1/4^{2n}$, para $n=1,2,3,\ldots$ ( metros cuadrados )
Luego,
a) para $n:=10$, la longitud del lado del cuadrado más pequeño es igual a $1/4^{10}$ metros, esto es $=1/(2^{2})^{10}=1/2^{2\cdot 10}=1/2^{20}\,\text{m}=1/1\,048\,576 \approx 9,5367 \cdot 10^{-7}\, \text{m}$
$= 0,9534\,\mu m = 9,534 \cdot 10^{-1}\,\mu m$
b) y para $n:=5$, el área del cuadrado más pequeño es igual a $1/4^{2\cdot 5}=1/4^{10}=1/(2^{2})^{10}=1/2^{2\cdot 10}$ metros cuadrados, esto es $1/2^{20}\,\text{m}^2=1/1\,048\,576 \approx 9,5367 \cdot 10^{-7}\, \text{m}^2 \cdot \dfrac{(10^6)^{2}}{1}\,\dfrac{\mu \text{m}^2}{\text{m}^2}=$
$=0,9534 \cdot 10^5\,\mu \text{m}^2=9,534\cdot 10^{4}\,\mu \text{m}^2 $
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