RMT - Ejercicio 5 de la semana del 18 al 24 de mayo de 2020 - Conversiones de unidades de una misma magnitud en el Sistema Métrico Decimal. Unidades de capacidad.

ENUNCIADO. Cuántos vasos de $250$ centilitros de capacidad podemos llenar con el agua contenida en un depósito cuyo volumen hábil es de $625$ decímetros cúbicos

INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

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SOLUCIÓN. En el depósito de $625\,\text{dm}^3$ de volumen hay $625\,\text{L}=62\,500\,\text{cL}$ de agua ( cuando está lleno ), ya que $1\,\text{dm}^3$ (unidad de volumen) equivale a $1\,\text{L}$ (capacidad); por tanto, podremos llenar $\dfrac{62\,500\,\text{cL}}{250\,\text{cL}/\text{vaso}}=250\,\text{vasos}$

RMT - Ejercicio 1 de la semana del 30 de marzo al 5 de abril de 2020 - Proporcionalidad, capacidad, volumen

ENUNCIADO. En un frasco hay 0,5 decilitros de medicamento que se administra mediante inyecciones. En cada inyección se administran 2 centímetros cúbicos de medicamento. ¿ Par cuántas inyecciones tenemos ?.

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SOLUCIÓN. ( Haz clic en la imagen para verla en su tamaño natural )

Ejercicio 1 de la semana del 9 de marzo al 15 de marzo de 2020

ENUNCIADO. Las aristas de una piscina que tiene forma de prisma recto de base rectangular ( ortoedro ) miden 8, 12 y 3 metros, respectivamente. Calcula la capacidad de la misma expresada en litros.

NOTA (1). Dentro de un máximo de 48 horas añadiré la solución en esta misma entrada.
NOTA (2). Si utilizas un smartphone tienes que hacer clic en "visualiza como página web" para poder leer bien las fórmulas en pantalla

SOLUCIÓN. El volumen de la piscina es igual a $8·12·3=288\, \text{m}^3$, luego teniendo en cuenta que $1 \, \text{m}^3$ corresponde a $1\,000 \, \text{L}$ de capacidad, en la piscina caben $288\, \text{m}^3·1000\,\dfrac{\text{L}}{\text{m}^3}=288\,000\,\, \text{L}$
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Medidas en un depósito ...

ENUNCIADO. Un depósito de agua tiene forma de ortoedro ( prisma recto de base rectangular ). Las medidas interiores ( longitudes de las aristas ) del depósito son: $1$, $2$ y $3$ metros, respectivamente. Se pide:
a) Dibujar una figura esquemática del depósito y anotar en ella las medidas
b) Calcular la capacidad del depósito, expresada en litros
c) Calcular la longitud de la diagonal del prisma
d) ¿ En cuánto tiempo se vaciará el depósito ( lleno ) mediante una conducción de agua, que lleva un caudal de $3 \; \dfrac{\text{L}}{\text{min}}$ ?

SOLUCIÓN.
a)

b) El volumen de un ortoedro viene dado por el producto de las longitudes de las tres aristas desiguales, $$V=1\cdot 2 \cdot 3 = 6 \,\text{m}^3 = 6000\,\text{dm}^3$$
Teniendo en cuenta la equivalencia $1\,\text{dm}^3= 1\,\text{L}$, la capacidad $C$ del depósito es igual a $$C=6000\,\text{L}$$

c) Por la aplicación del teorema de Pitágoras en los dos triángulos rectángulos que se forman en la figura, $$d^2=1^2+2^2+3^2$$ por tanto $$d=\sqrt{14}\,\text{dm}$$ ( Observación: $3 < \text{14} < 4 $ )

d) Planteando la proporción entre la cantidad de agua que contiene el depósito en un momento dado y el tiempo que se tarda en vaciarla, $$\dfrac{3}{1}=\dfrac{6000}{t}$$ siendo $t$ el tiempo ( en minutos ) necesario para vaciar el depósito lleno. Así, $$\dfrac{t}{6000}=\dfrac{1}{3}$$ es decir $$t=\dfrac{6000}{3}=2000\, \text{min}=1\,\text{día}\;\; 9\,\text{h}\,\,20 \,\text{min}$$

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Cuerpos en el espacio

ENUNCIADO. Un depósito de agua tiene forma de ortoedro ( prisma recto de base rectangular ). Las medidas interiores ( longitudes de las aristas ) del depósito son: $2$, $3$ y $4$ metros, respectivamente. Se pide:
a) Dibujar una figura esquemática del depósito y anotar en ella las medidas
b) Calcular la capacidad del depósito, expresada en litros
c) Calcular la longitud de la diagonal del prisma
d) ¿ Cuánto tiempo tardará en vaciarse el depósito ( lleno ) mediante una conducción de agua, que lleva un caudal de $2 \; \dfrac{\text{L}}{\text{min}}$ ?

SOLUCIÓN.
a)

b)
El volumen del depósito es igual a $V=2 \cdot 3 \cdot 4 = 24 \; \text{m^2} = 24\,000\; \text{dm}^3$

c)
Como $1 \; \text{dm}^3$ equivale a $1 \; \text{L}$ de capacidad, la capacidad del depósito es de $24\,000 \; \text{L}$

d)
Para calcular la diagonal del ortoedro ( dibujada en rojo ) debemos tener en cuenta los dos triángulos rectángulos que se configuran ( aparecen sombreados en la figura ), entonces llamando $d$ a la diagonal del ortoedro y $\ell$ a la diagonal de la cara de la base, podemos escribir $d^2=\ell^2+3 ^2 \quad \quad (1)$ ( por el teorema de Pitágoras aplicado al triángulo sombreado de marrón ); y, aplicando el mismo teorema al triángulo sombreado en azul, $\ell^2=2^2+4^2 \quad \quad (2)$. Sustituyendo (2) en (1) resulta $d^2=2^2+3^2+4^2$, y por tanto $d=\sqrt{2^2+3^2+4^2}=\sqrt{29}\; \text{m}$

e)
Denotando por $t$ al tiempo pedido y planteando la siguiente proporción directa: $\dfrac{1}{2}=\dfrac{t}{24\,000}$, de donde despejando $t$, obtenemos $$t=12\,000\; \text{min}=200\;\text{h}=8\;\text{días}\;8\;\text{h}$$
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