Ejercicio 6 de la semana del 27 de abril al 3 de mayo de 2020 - Estadística. ¿ Qué ocurre con los parámetros media, moda, mediana y rango cuando multiplicamos cada dato por una costante ?

ENUNCIADO. El del ejercicio 66 de la página 277 del libro base

NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

INDICACIÓN. Lee la Unidad Didáctica 12 del libro base

SOLUCIÓN.

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Ejercicio 2 de la semana del 20 al 26 de abril de 2020 - Estadística. Parámetros de situación/posición

INDICACIÓN. Lee las páginas 269, 269 y 270 del libro base

ENUNCIADO. Se han recogido las siguientes puntuaciones en un juego de dardos {1,2,3,4,1,2,5,2,2,1,2,4,3,1}. Calcula la moda, la mediana y la media aritmética. ¿ Qué opinas a la vista de los resultados ?

NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

SOLUCIÓN.
Ordenando los datos: {1,1,1,1;2,2,2,2,2;3;3;4,4;5} vemos que el dato que se repite un mayor número de veces es el 2 ( se repite cinco veces), luego la Moda es igual a 2. Por otra parte, hay un número par de datos ( catorce datos ) y los dos datos centrales ( en la lista ordenada de menor a mayor ) son dos doses, luego la mediana es igual a 2. Y, en cuanto a la media, vemos que la suma de todos los catorce datos es igual a 1·4+2·5+3·2+4·2+5·1 = 33, por lo que el promedio es igual a 33/14 $\approx 2,4$

Recordemos que los tres - moda, mediana y media - son parámetros (medidas) de posición. En este caso, los valores de la mediana y de la moda coinciden, pero no son iguales al valor de la media; eso es debido a que hay muchos más datos pequeños y 'medianos' que datos altos, como el '4' o el '5'.

Un ejercicio de estadística descriptiva de una variable

ENUNCIADO. A partir de los siguientes datos ( de una cierta variable estadística ) $$\{1,2,3,4,1,4,3,2,1,1,2,3,3,2,1,2,3,2,2\}$$
se pide:
a) Elaborar una tabla de frecuencias
b) Dibujar el diagrama de barras
c) Calcular la moda, la media y la mediana

SOLUCIÓN.

a)

b)

c)
La moda corresponde al valor que se repite un mayor número de veces, en este caso es igual $2$ ( se repite $7$ veces )
La media se define como la suma de todos los valores dividida por el número de valores ( que es $19$ ): $\bar{x}=\dfrac{1\cdot 5+2\cdot 7+3\cdot 5 +4 \cdot 2}{19}=\dfrac{42}{19}\approx 2,2$
La mediana es el valor central de los datos ordenados de menor a mayor; consultando la columna de frecuencias acumuladas vemos que es igual a $x_{10}=2$

$\square$

Estadística descriptiva de una variable

ENUNCIADO. Calcular la moda, la media y la mediana de siguiente conjunto de datos tomados de una cierta variable estadística $X$:
$$\{1,2,3,4,1,4,3,2,1,1,2,3,3,2,1,2,3,2,2\}$$

SOLUCIÓN. El número de datos es $N=19$. Como hay pocos datos, podemos prescindir de elaborar la tabla de frecuencias y ordenarlos sin más: $$\{1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4\}$$ con lo cual es claro que el valor central ( la mediana ) es $2$; el dato que aparece con mayor frecuencia es, también, $2$ ( la moda es $2$ ), y la media, $\bar{x}$, es igual a la razón entre la suma de todos los datos ( valores de la variable estadística ) y el número de valores, por tanto $$\bar{x}=\dfrac{1\cdot 5+2\cdot 7+ 3\cdot 5 + 4 \cdot 2}{19}=\dfrac{42}{19}\approx 2,2$$

$\square$

Hacer un estudio estadístico

ENUNCIADO. En un examen se han obtenido las siguientes notas enteras ( en una escala del $1$ a $5$ ) $$\{3,2,1,3,2,4,2,3,1,3,2,4,3,3,2,1,4,3,1,3,2,2,3,2,3,5,5\}$$ Se pide:
a) Elaborar una tabla en la que aparezcan cinco columnas: la primera, para los distintos valores de la variable estadística $X$, que es la nota obtenida; la segunda, para las frecuencias del recuento
( $f$ ) de las distintos valores enteros de la variable nota; la tercera, para las frecuencias acumuladas del recuento, $F$; la cuarta, como ayuda para los cálculos de la media $\bar{x}$; y, la quinta, como ayuda para calcular la desviación media.
b) Dibujar el diagrama de puntos y trazar la línea poligonal de frecuencias.
c) Calcular la moda ( parámetro estadístico de posición )
d) Calcular la mediana ( parámetro estadístico de posición )
e) Calcular la media ( parámetro estadístico de posición )
f) Calcular la desviación media ( parámetro estadístico de dispersión )
g) ¿ Qué conclusiones se desprenden ( sobre el rendimiento global en dicha prueba ) ahora que ya has elaborado la tabla, has realizado el gráfico y has calculado el valor de los parámetros estadísticos ?


SOLUCIÓN.
Este ejercicio es muy parecido a [ este otro ]. Dejo al lector/a el trabajo ( rutinario ) de seguir los mismos pasos. $\square$

Un ejercicio de estadística descriptiva

ENUNCIADO. En el examen de una clase se han obtenido las siguientes notas enteras ( en una escala de $1$ a $4$ ) $$\{3,4,1,3,2,4,2,3,1,3,2,4,3,3,2,1,4,3,1,3,2,2,3,2,3\}$$ Se pide:
a) Confeccionar una tabla en la que aparezcan cinco columnas: la primera, para los distintas notas ( valores de la variable estadística $X$ ); la segunda, para las frecuencias del recuento $f$ de las distintas notas; la tercera, para las frecuencias acumuladas, $F$; la cuarta, como ayuda para los cálculos de la media $\bar{x}$; y, la quinta, como ayuda para calcular la desviación media.
b) Dibujar el diagrama de puntos y trazar la línea poligonal de frecuencias $f$
c) Dibujar el diagrama de frecuencias acumuladas $F$
d) Calcular la moda ( parámetro estadístico de posición )
e) Calcular la mediana ( parámetro estadístico de posición )
f) Calcular la media ( parámetro estadístico de posición )
g) Calcular la desviación media ( parámetro estadístico de dispersión )
h) Extraer conclusiones acerca del rendimiento global del grupo de alumnos

SOLUCIÓN.

La moda se define como el valor de $X$ con la máxima frecuencia de recuento ( $f$ ); como $f_{\text{máx}}=10$ y ese valor corresponde al valor de $X$ igual a $3$, $\text{Moda}=3$

La mediana se define como el valor central del conjunto de datos ordenados de menor a mayor; como hay $25$ datos, el valor central corresponde a $X_{13} \overset{\text{columna $F$}}{=} 3$, luego $$\text{Mediana}=X_{13}=3$$

Arriba ( en las dos últimas filas de la tabla ), ya hemos apuntado que la media ( parámetro de posición ) resulta ser $\bar{x}=2,56$ y que la desviación media ( parámetro de dispersión ) toma el valor $\text{DM} \approx 0,81$; en cuanto al rango ( otro parámetro de dispersión ), recordemos que se define como la diferencia en valor absoluto entre el valor máximo ( que es $4$ ) y el valor mínimo ( que es $1$ ), luego $\text{rango}=\left|4-1\right|=3$

Diagrama de puntos y línea poligonal de frecuencias del recuento:

Diagrama de frecuencias acumuladas del recuento:

h) El valor de los parámetros de posición ( centralización ) -- moda, mediana y media -- son superiores a $\text{rango}/2=1,5$, por lo que podríamos decir que, globalmente, el examen no ha salido mal. Caben, sin embargo, algunos matices: el conjunto de valores presenta una leve asimetría negativa, pues el valor de la media está a la izquierda de la moda; y hay más 4s que 1s, luego el rendimiento del grupo es bastante bueno. En cuanto a la desviación media, que es igual a $0,81$, da un coeficiente de variación ( desviación media con respecto a la media, de $2,56$, igual a $\dfrac{0,81}{2,56} \cdot 100 \approx 32\,\%$, que consideramos "aceptable".
$\square$